Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

Probleme", Problem n° 2, Gött. Nachr. 1900, pag. 264.)

Het spreekt van zelf, dat dit alleen te bereiken is door de teekens, die de axioma's uitdrukken, zelf als een wiskundig systeem te beschouwen, de principes van de logica volgens de algebra der logica te formuleeren als regels om dat systeem verder uit te bouwen, en dan wiskundig te bewijzen, dat die uit de algebra der logica afgelezen bouwregels nooit tegelijk een vergelijking en haar ontkenning zullen kunnen afleiden. Het geheel der uit de axiomatische grondvergelijkingen af te leiden vergelijkingen vormt natuurlijk een aftelbaar oneindig systeem. 1»

Hilbert schetst l.c. de wijze van uitvoering *) dezer niet-strijdigheidsbewijzen in groote trekken, niet alleen voor het zooeven genoemde stel axioma's der hoofdbewerkingen, maar ook voor dat van verschillende andere deelen der wiskunde. Zoo voert hij b.v. om de grondslagen der Mengenlehre te leggen pag. 182 — 184 het klassesymbool in,

') Immers het geheel van alle combinaties van een eindig aantal der ingevoerde teekens (waartoe ook het teeken = behoort, en die eindig in aantal zijn voor elke wiskundige theorie) blijft aftelbaar, a fortiori dus het geheel van die bijzondere der teekencombinaties, die als ware vergelijkingen zijn te lezen.

') Een enkele maal vergist hij zich, waar hij n.1. pag. 181 een niet-strijdigheid door een voorbeeld bewijst, wat van het door hem ingenomen standpunt natuurlijk ongeoorloofd is.

Sluiten