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§ 5. Ces r.j systèincs do racines &' sont indépendants.

Pour le démontrer, multiplions-les respectivement par les arbitraires tx, . ... t,v et ajoutons-les; les fonctions linéaires honiogènes üinsi obtenues, égalées a zéro, forment vl équations linéaires homogènes t,

Ces équations peuvent se réduire aux deux groupes suivants:

Groupe T, se composant de «j équations dont les coeftieients 11e renferinent pas d'éléments a,

Groupe II, se composant de u., équations dont les coeftieients ne renferinent pas d'éléments b.

Multiplions les équations de chaque groupe successivement par les arguinents consécutifs d'une fonction honiogène — respectivement des degrés k—/ et l-—m — des trois variables #, //, z, oü on, ij, z sont des grandeurs arbitraires, et ajoutons les résultats de cliaque groupe; on obtiendra les deux équations

T % = o , T <jP = o (8),

dans lesquelles la grandeur T représente mie fonction homogene du degré /•—/—m des trois variables x,y,z, dont les eoefficients seront les t\, arbitraires t.

Si les systèmes de racines # n'étaient pas indépendants, on pourrait satisfaire aux équations (S) — étant arbitraires —

par nu systèine de valeurs /' qui ne se compose pas de zéros seuls. Ce svstème de valeurs t' constituerait un système de racines des équations t.

Conune on ne saurait satisfaire aux équations (8) indépendamment des valeurs des variables x,y,z, qu'en choisissant pour les arbitraires / des zéros, il n'existe pas de système de racines pour les équations t.

1'ar conse(juent, les csystèmes de racines ,v' sont indépendants. (i. Les determinants de 1 assemblant des systèmes de racines .v' sont premiers entre eux.

Kn ett'et, s ils avaient un comniun diviseur cpii fut une fonction des coeftieients des fonctions <j et il existerait dans le cas ou les coeftieients auraient des valeurs qui annuleraient le commun diviseur, au moins un système de racines t' pour les équations /.

C est impossible, conune il a été déniontré au paragraplie precedent; donc, il est de mênie impossible <]ue les déterminants de I assemblant des systèmes de racines #' aient un cotnmun diviseur, tonction des coefticients des fonctions <j> et

§ 7. En substituant les valeurs

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