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DEUXIÈME MÉTHODE, PAR LAQUELLE ON OBT1ENT LES MÈMES RÉSULTATS.

§ 17, Comme il a été remarqué au § 8, les v équations 0 sont liees par lm relations lineaires indépendantes, (piel que soit le degré de la fonction F. Pour les équations il existe done lm svstèmes de racines p indépendants. 11 est elair qu'un ou plusieurs des svstèmes de racines j! doivent avoir la propriété que leurs éléinents sont proportionnels aux arguments consécutifs d'une fonction honiogène du degré k a trois variables.

Pour trouver un tel système de racines, forinons lm svstèmes de racines indépendants dont lm — 1 éléinents correspondant aux termes de la fonction F qui ne renferment que deux des variables, sont des zéros. De ces lm svstèmes de racines p on déduira un autre système dont aucun élément ne s'annule, en les multipliant respectivement par les coefficients indéterminés qx, q.„ .... qt„„ et en ajoutant les produits. Les sommes ainsi obtenues forment un système de racines pour les équations £ satisfaisant a la condition citée.

En divisant ces racines respectivement par les arguments consécutifs d une fonction homogène du degré /• a trois variables, on obtient 1'égalité de v proportions, d'ou 1'on peut éliminer les lm

quantités q. Cette élimination pourra se faire de ^ l, ^ ma-

nières, c'est-a-dire d'autant de nianières (pi'il y a de combinaisons, lm 1 a lm -f- 1, de v éléinents.

Kn efiet, lm 1 membres de cette égalité forinent lm équations linéaires honiogènes entre les lm arbitraires q. L'éliinination de ces arbitraires foumit une relation entre les variables x, y, z et les coefficients des équations (1).

Pour obtenir une relation ne renfermant (juc deux variables, il suffit de prendre de la susdite égalité hu -)- 1 membres qui contiennent seulement deux des trois variables x, y, z. Coninie dans une fonction homogène du degré /• a trois variables le nombre des termes qui contiennent seulement deux quelconques de ces variables, est /•-f- 1, il faut que /■ —(— 1 ne soit pas inférieur a lm-f- 1.

Ainsi cette méthode, comme la première, donne lm pour la plus petite valeur de /•. Pour cette valeur la relation trouvée est l'équation linale.

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