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sont certainement dépendantes, car 011 a la relation:

— -j- ^2 —aïb\ (56),

niais les équations:

nvT -f «2 = () , ) ....(57)

l)y X -\ /)., = 0 , i

sont seulement dépendantes, si leur résultant, c-a-d axb2—a^b^, s'annule.

Réciproquement, il peut arriver que quelques équations algéhriques sont dépendantes, tandis <|iie les fonctions qui forment leurs premiers inenibres sont indépendantes, p. e. les équations (28) se trouveraient dans ce cas, si tous les déterininants dc 1'assemblaut (30) s'anmdaient, tandis que la fonne 'laxb2 — a2bx ne s'annule pas.

§ 18. Si le nombre des fonctions que 1'on considère, est d'une unité supérieur ii celui des variables qui y entrent, ces fonctions sont continuellement liées par une relation dans laquelle les variables ne figurent pas explicitement. On obtient cette relation en éliniinant les variables entre les équations que 1'on obtient en égalant ces fonctions a des symboles distincts, coinme nous avons opéré dans les paragraphes 4 et 7.

§ I!). Pour le cas oiï le nombre des fonctions est égal a celui des variables qui y entrent, Jacobi a montré que le caractère distinctif qui fait reconnaitre si ces fonctions sont dépendantes, consistc en ce que leur determinant fonctionnel s'annule identiquement ').

Nous ne nous arrêterons pas a donner la démonstration de ce théorème, laqaelle est d'une notoriété très-grande. 11 suttira de mentionner un exemple. Les fonctions:

q> x2 -f n2 xy + x -f a4y- 4 «5U + "e > I

■I bx x -j- b2 y + b.A, |

sont dépendantes, si leur déterminant fonctionnel:

2 «i x -f- a2 y -\~ a.A «2 x -f 2 «4 y -f «3

K b, (

') Voir: Jacobi, De determinantibus functionalibus (Journal de Crelle, tome 22), traduit en allimand dans Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften. n°. 78.

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