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Les systèmes de racines d'un système de n équations homogènes à n+1 variables

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'fl — 0 >

'<2 = 0 > I

f3 = O , (2),

%, = O ,

respeetivemeiit des degrés gx, y2, y3,. . . . gn ').

Si la fonction Fe st <lu degré j, les fonctions 4^, <t>„, <1>.{ <I>(I

a coetticients indéterininés sl,s2 s„t sont respeetivemeiit des

degrés j—gvj—gvj—gv j—f/n-

Pour toute Videur du degré de la fonction F qui n'est pas in-

n

férieur a Z //,,—//, <>n peut former avec les eoetficieuts des équa1

tions donuées un asseniblant <pii contieut v lignes et vi colonnes, lies colonnes de eet asseniblant sont liées par t\> relations linéaires liées a leur tour par v.A relations linéaires, et ainsi de suite Les valeurs v que nous avons en vue sont les suivantes:

• =ft")

, <3)-

v = n—g\—9i • • —n + »y I

Entre les valeurs v il existe, comme on sait, la relation:

v '-1 H~ W2 H~ ( "V" ~ • • • 9n (4).

Après avoir supprimé de rassemblant de la fonction F les colonnes qu'on peut regarder comme dépendantes des autres colonnes, 011 obtient 1111 asseniblant de v lignes et de vx—v2 -\~ v3— . . . -)- (—

') Nous supposons que deux quelconques des fonctions <p soient premières entre elles. 1'our s'en assurer, 011 détermine leur plus grand commun diviseur en appliquant 1'opération connue. Si deux des fonctions tp avaient un commun facteur, le système des équations données se décomposerait en deux autres systèmes:

1. 1'un de n équations homogènes a n + 1 varialdes;

2. 1'autre de n — 1 équations homogènes a n + 1 variables. Etc.

') Vroir: L'équation finale (Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam [Eerste Sectie], deel VIII, n° 1), § 26.