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3. Si quelques (létcrmilia 11 ts dc 1'assemblant des coefficients s'évanouissent, les déterniinants supplémentaires de l'assemblant des systèmes de racines s'annulent aussi; et réeiproquement, si les équations données n'ont pas de systèmes de racines égaux, et ([ue quelques déterniinants de l'assemblant des systèmes de racines s'évanouissent, les déterniinants supplémentaires de 1'asseinblant des coefficients s'annulent également.

Ce tliéorème découle directement du rapport constant entre les déterniinants supplémentaires des deux assemblants supplémentaires.

4. Si un nombre inférieur a gx g2 . . . g„ -(- 1 lignes de rasseniblant des systèmes de racines sont liées par une relation lineaire, tont déterininant de eet asseinblant qui contient ces lignes, s'annule; et réeiproquement, si tous les déterniinants de 1'assemblant des systèmes de racines qui ont gxg'% ■■■!)„ — /• -j— 1 lignes communes, s'annulent, il existe une relation lineaire entre cesgxg2 . . . g„—/'-f- 1 lignes.

La première partie de ce tliéorème est évidente, la seconde partie découle des équations résultantes qui existent entre gx g2 . . . gtl 1 arguments (pielcoiupies de la fonction F. Pour obtenir cette relation lineaire, on forme une équation résultante contenant parmi /es fd coefficients k des déterniinants qui s'annulent. '

5. Si h équations homogènes a n -)- 1 variables ont en fout gx g9 . . . g„ — k systèmes de racines différents, et que 1'on forme de la manière connue 1111 assemblant de ces systèmes de racines, les lignes de eet assemblant sont liées par /• relations linéaires, et en outre par les vx — v2 -\~ Va -)- . . -|- (— l)"-1?7,! relations linéaires existant déja entre ces lignes; toutes gx g2 — /• —|— 1 lignes de eet assemblant sont dans ce cas liées par une relation linéaire.

Ce tliéorème découle de la théorie exposée dans le numéro précédent, si 011 la compare aux conditions nécessaires pour 1'existence de /• solutions coniinunes d'1111 systènie de n -j- 1 équations lioniogènes a n -f- 1 variables ').

Si les n équations données admettent en tont gx g2. . .gn — systèmes de racines différents, les /■ systèmes de racines égaux a d'autres systèmes de racines de ces équations satisfont eneore a une

H

é<[uation honiogène du degré Y,gt< — u. Le systènie de n -|-1 équa-

1

tions homogènes formé par cette équation et les n équations don-

') Voir: Théorie générale de 1'élimination, § 112 et § 11").

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