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eontienne des systèmes de raeines égaux, il fant que cc détenninant s'annule. II doit en ètre de même du determinant supplementaire de 1'assemblant des coefficients, et réciproqueinent.

Formous pour la même valeur de j une équation résultante dont tous les tenues a un pres renferment des arguments de la fonction F composés seulenient des deux variables désignées, tandis que le tenue restant renferme encore une autre variable. Le coëfficiënt de ce tenue est préciséinent le détenninant en question, qui s'annule, si 1'éq lation finale a des systèmes de raeines égaux.

L'équation résultante qui nous occupe, se ramène dans ce cas a une équation de deux variables d'un degré inférieur d'une unité au produit des degrés des équations données. Les systèmes de raeines de cette équation sont alors les g. </.,. . . g„ — 1 systèmes de raeines différents de l'équation finale entre les meines variables.

§ 11. Dans le cas oü deux systèmes de raeines de l'équation finale sont égaux, — saus que ce soit le cas des autres variables

— 011 peut évaluer le système de raeines doublé de l'équation finale de la manière suivante.

La plus petite valeur qu'on puisse donner a j dans cette évaluation est g1g2. . . ff,— 2.

Formons pour cette valeur de j une équation terminale contenant g1 g.,. . . g„ — 1 termes qui renferment seulenient les deux variables de 1'équation finale, et deux tenues qui ont pour diviseur un binome du premier degré entre les mêmes variables. Ce binoine, égalé ii zéro, fournit une équation qui a pour raeines le système de raeines doublé de 1'équation finale. Le polynome formé par les autres tenues de l'équation terminale considérée est dans cc cas divisible par le nièine binome.

Pour le démontrer, reniarquons que l'équation terminale en question devient identique pour deux valeurs différentes d'une troisième variable, tand is <pie les deux autres variables couservent leura valeurs. Pour que ce soit possible, il faut — ordonnant cette é(piation suivant les puissances deseendaiites de la troisième variable

— que les coefficients de ses deux termes s'annulent pour les valeurs considérées des deux autres variables. 6'. Q. F. JJ.

§ 12. Si panni les systèmes de raeines de l'équation finale entre deux variables désignées se trouvent deux systèmes de raeines égaux a d'autres systèmes de raeines de cette équation, et qui ne se rapportent pas a des valeurs égales des autres variables, de sorte que le nombre des systèmes de raeines différents de l'équation finale considérée est (jx g2 . . . g„ — 2, les deux coefficients du binome considéré dans le paragraphe précédent s'annulent.

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