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En substituant dans 1'équation donnée aux variables les n systèmes de racines (qu'on peut snpposer différents), on obtient entre les n I coetfieients de l'éqnation donnée ti équations linéaires homogènes qui suflisent préeisément puur la détermination des n -|- I coefficients.

Dans le eas ou il v a une seule équatiou homogene a deux variables il n'existe done ])as de systèmes de racines superflus.

Si réquation donnée a des systèmes de racines égaux, de sorte (|iie le nombre total des systèmes de racines différents est n — les coetfieients de réquation donnée ne sont pas indépendants, mais liés par /• relations. Les lignes de l'assemblant des systèmes de racines différents, prenant j — n, sont dans ce cas liées par k -f- I relations linéaires indépendantes, coinme il sera démontré dans la suite de ce chapitre.

2. Cas ou tous les systèmes de racines sont différents.

§ 17. Les n systèmes de racines de 1'équatiou donnée (35) torment l'assemblant:

ll\ d2 d'ó lC>'

Wi x2"~^2 <vn"~\h

v-vv-vv-v (*•>.

y\ y* yïl yn"

Cet assemblant contient n -j- 1 lignes et n colonnes. Les lignes sont liées par une seule relation lineaire (1'équation donnée (35)), donc les colonnes sont indépendantes entre elles.

Indiquant les déterminants de l'assemblant (30) par X,, X.,, etc. 011 obtient 1'égalité:

^ = = X"+L_ (37).

a\ ~a2 H (—1)X+1

E11 substituant les valeurs des coefficients tirées de cette égalité, dans 1'équation donnée (35) cette équatiou peut s'écrire dans la fornie:

Xj <r"—X2 + X3 «-y»-. . . . + (-1)" XII+1 f = ü. (38),

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