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II. Deux équations homogènes a Irois variables.

1. Nombre des systèmes de racines superflus. $ 21. Soient

I1 (*>z) jc> + »3 + "3 .f'-1 ^ + «Ü x>~2yz

+ ff0 *<-2*2 «7 Jr'~3y3 _f_ _j_ _ 0 , |

* (j-.y, •?) = bx x>« J'"-2y3 +4. x"'-2y« j ■••• (J0

+ '>n x"' ~'1:~ + h ■*■"" ~V 4~ +^»i +2^"' = 0 , |

les équations données, respectivement des degrés / et ui, oh/> m. Prenant / pour Ie degré de la fonction F, on obtient les valeurs:

• =('t3) • i

'■i ■=1 + (' ")• | t32)-

^■ I

Ou peut tirer de ces valeurs les coiiclusions suivantes'):

1. Si m < 2, les hu systèmes de racines des équations donuées sont indépendiints;

2. Si m > 2, le nombre des systèmes de racines superflus est

(m—1) (m—2) ^y//_K

1.2 = \ 2 ) <3S>-

Exemples: Pour / = 8, m = 3, on trouve v2 = 1, » l — 4, m — 3, „ „ v2 = 1, » /= 4, = 4, „ „ ?'2 = 3, etc. Kcmarque. La formule (jui fournit le nombre des systèmes de racines superflus dans le deuxiènie cas peut aussi s'appliquer nu premier cas 2).

') Comparer le mémoire (le Jacobi dans le journal de Crelle, tome 15(1836), intitulé: De relationibus, quae locum habere debent inter puncta intersectionis duarum curvaruin vel trium superficieruni algebraicum dati ordinis, simul cum enondatione paradoxi algebraici.

Voir aussi: G. Sai.mon, Courbes planes. n°. 33.

*) Si le premier inenibre de l'équation du degré le plus élevé peut se décomposer en des facteurs de moindres degrés, le nombie des systèmes de racines superflus peut s'élevir a

CV) , ce qui se prouve géométriquement sans aucune difliculté. Nous nous bornons

a ivlever cette particularité, dont la démonstration algébrique nous conduirait a de trop ampies détails.

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