is toegevoegd aan uw favorieten.

Leerboek der stereometrie

Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

rechten cirkelvormigen kegel het recntnoeiag trapezium (fig. 74) dat om de rechthoekszijde A'B' wentelt, een rechten cirkelvormigen afgeknotten kegel.

$ 63. Wanneer men uitgaat van de vroeger (§ 56, 59. 60) gevonden formules voor 't oppervlak en den inhoud van de bovengenoemde omwentelingslichamen, kan men, door ze een anderen vorm te geven, andere regels vinden ter bepaling van die oppervlakken en inhouden. Deze nieuwe regels zijn dan geschikt om 't oppervlak en den inhoud van een bol of van sommige deelen van den bol te vinden. Deze herleiding van die formules geschiedt tengevolge van deze twee eigenschappen.

a. Als eene lijn wentelt om eetie andere als as, met de eerste in 't zelfde vlak gelegen, zal de eerste een oppervlak beschrijven gelijk aan een rechthoek, -waarvan de lengte gelijk is ^ aan den omtrek des cirkels, die tot straal heeft de loodlijn, op 't midden der wentelende lijn opgericht, gerekend tot de as, en tot breedte de projectie van die lijn op de as.

Bewijs. I. Is de wentelende lijn evenwijdig aan de as (fig. 72), zoo is 't cilinderoppervlak = 2nAA X AB — 2nCC X A B , als CC' loodrecht op 't midden van AB is opgericht.

II. Snijdt de wentelende lijn de as (fig. 73), *>0 is zi->dch"^ opp. van den kegel = nAA' X AB. Maar is AC = BC, CC'±A B en CD JL AB, zoo is A AA'B co A CC'D en CC' = \AA. Dus is

A'B : CC' = AB : CD of CC' X AB = CD X A'B.

Dus ttAA' X AB = 2jiCC' X AB = 2jiCD X A'B. ^

III. Snijdt de wentelende lijn de as niet (fig. 74), zo° ls * zlJde" lin^sch oppervlak van den afgeknotten kegel = n(AA'+ BB ) X AB. Maar is AC = CB, CC'±A'B', CD 1 AB en BE X AA , zoo is CC' = i (AA' + BB') en A ABE ~ A CC'D. Dus is

AB : CD — BE: CC' of CC' X AB — CD X BE, of 71 (AA' + BB') X AB = 27tCD X BE = 2nCD X A'B'.

b. Als een driehoek omwentelt om eene lijn door een of twee der hoekpunten gaande en met den driehoek in een vlak gelegen, zoo is de inhoud van 't omwentelingslichaam daardoor beschreven crelijk aan dat van een kegel, die tot grondvlak heeft het oppervlak beschreven door eene zijde tegenover een vast hoekpunt, en tot hoogte de loodlijn uit dat hoekpunt op die zijde neergelaten.

Bewijs. I. Wentelt een rechthoekige driehoek (fig. 73) om de rechthoekszijde A'B, zoo is zijn inhoud = * jiAA'2 X A'B.