is toegevoegd aan uw favorieten.

Leerboek der stereometrie

Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

$ 64. We kunnen nu overgaan tot de bepaling vin 'toppervlak en den inhoud van den bol en van sommige deelen er van.

Een boloppervlak is een omwentelingsoppervlak beschreven door een halven cirkelomtrek, die om de middellijn als as wentelt. Het lichaam, dat bij die omwenteling door 't vlak van den halven cirkel wordt beschreven, is de bol.

Fig. 78.

Men komt nu tot de bepaling van t oppervlak van den bol, door een cirkelboog te beschouwen als de limiet van eene ingeschreven regelmatig-gebroken lijn, waarvan 't aantal deelen onophoudelijk toeneemt. Is (fig. 78) PQ een cirkelboog, die om de middellijn AB als as wentelt, en heeft men in dien boog eene regelmatig gebroken lijn Pab . . . Q beschreven , zoo beschrijven Pa , ab enz. ronde oppervlakken van afgeknotte kegels.

Eigenschap. Wanneer een cirkelboog om eene middellijn wentelt, wordt een oppervlak beschreven gelijk aan een rechthoek, waarvan de lengte de omtrek van den cirkel is en de breedte de projectie van den boosr ot> de as.

Bewijs. Is MN't apothema van de gebroken lijn, zoo is (§ 63a. III) Ronde Opp. Pa — 211 MN X P'a' ti „ ab — 271 MN X a'b'

„ bc — 2n MN X b'c' I „ cQ = 2n MN X C'Q'

Ronde Opp. PabcQ — 2jiMN X P'Q'Laat men 't aantal deelen van de gebroken lijn in den boog PQ beschreven onophoudelijk toenemen, zoo is lim. MN — R, de straal van den cirkel. Daar P'Q' hierbij onveranderd blijft, zal het 2" lid dezer vergelijking en dus ook het 1" eene grenswaarde hebben. Terwijl de grenswaarde van de lengte der gebroken lijn PabcQ de boog PQ is, kan men dus aannemen, dat die van 't oppervlak, door die gebroken lijn beschreven, dat deel van t boloppeivlak is, dat door den boog PQ wordt beschreven.

Dus R. Opp. PQ = 211R x P'Q'.

Gevolg. Wentelt de halve cirkelomtrek APB om AB, zoo vindt men 't Opp. van den bol = 2jtK X 2h = 4ttR2.

Den inhoud van den bol beschouwt men als de grenswaarde,