is toegevoegd aan uw favorieten.

Leerboek der stereometrie

Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

begrenzen. Dit veelvlak

regelmatig twaalfvlak (dodecaeder) (fig. 92).

§ 74. Eigenschap. In en om elk regelmatig veelvlak kan een bol worden beschreven.

Bewijs. I. Is AB (fig. 93) de gemeenschappelijke zijde van twee zijvlakken en dus eene ribbe van 't veelvlak, zijn P en P' de middelpunten van die zijvlakken en verbindt men P

is dan begrensd door twaalf congruente gelijkzijdige vijfhoeken, waarvan er drie in elk hoekpunt samenkomen, en heet daarom

dan is PC = P'C 't apothema

en P' met C. 't midden van AB,

van elk der zijvlakken. Het vlak door PC én P C is ioodrecnt

op AB en dus ook lood-

Fig. 93.

recht op elk der beide zijvlakken. Richt men nu in dat vlak uit P en P' loodlijnen op de zijvlakken op, dan snijden die loodlijnen elkaar in een punt M. Dan is A PMC sj A P'MC en dus PM — P'M. Op dezelfde wijze blijkt, dat de loodlijn, in P opgericht op 't eene zij¬

vlak , in 't zelfde punt M gesneden wordt door loodlijnen in de middelpunten van andere aangrenzende zijvlakken op deze opgericht. Het punt M ligt dus op gelijke afstanden van de zijvlakken, en is dus 't middelpunt van een bol, die MP tot straal heeft en de zijvlakken aanraakt.

II. Verbindt men M en P met A , zoo ontstaat de A 1 MA, rechthoekig in P. Daar PM en AP onveranderd blijven, op welke zijvlakken ook de loodlijnen, die elkaar in .1/ snijden, zijn opgericht, zoo is ook AM onveranderd. Het punt M ligt dus ook op gelijke afstanden van de hoekpunten van t veelvlak, en is dus ook 't middelpunt van een bol, die AM tot straal heeft en wiens oppervlak door de hoekpunten van t veelvlak gaat.