V2R, dan ontstaan zeer zwakke tanden (zie fig. 34).
Hoe kleiner men dus de rolcirkels neemt, des te kleiner kan het kleinste wiel worden bij stelselraderen. De volgende overwegingen stellen hier echter een grens.
Volgens formule (19) moet er een bepaalde ingrijpingsduur zijn. Een punt der ingrijplijn beweegt zich met dezelfde snelheid als de punten der steekcirkels. Men kan dus formule (19) aldus wijzigen: Theoretisch moet de lengte der
ingrijpingslijn gelijk zijn aan clen steek; praktisch (met het oog op de slijtingen) neemt men hem 1,1 X ^en steek. De lengte der ingrijpingslijn wordt begrensd door de kopcirkels der beide raderen (fig. 35).
Met het oog op de wenschelqkheid het aanrakingspunt zoo dicht mogelijk bij de centraal te houden, zijn dus wielen met niet te hooge tanden te verkiezen. * Neemt men aan AUr voor de kophoogte 1). In dit geval kan dus de straal r
Fig. 35.
van den rolcirkel een bepaalde waarde niet te onder gaan, zonder dat de lengte der ingrijpingslijn te klein wordt. Voor het ongunstigste geval (n.l. wanneer de eene steekcirkel een zoo klein mogelijken straal heeft, dus gelijk is aan twee maal dien van den rolcirkel), kan men r als volgt berekenen (zie fig. 36):
* Van *—* ingelascht door den samensteller.
') Hierbjj wordt J in het ongunstigste geval (hengel) niet grooter dan '24U.
(%r - PB) >• + Pb) = AB2 = PB (2r — PB)
13 o
-g r2 — "PB2 — 4 PB/- = 2PBr — PB2 PB=ër-
Rekent men PA = % steek = i/2xm, dan is verder: PA2=r2rXPB = ^|r2
pa=ïv^t=?
3^ -| X" 3 r = 2 V yg • m = 2,20 m. *
Dit is een minimum, men neemt:
r = 23/4 ii 3 rn (39)
-v waarbij dan de
wijze worden gevormd, wordt de grootst mogelijke tandhoogte bereikt, wanneer beide flanken in één punt samenkomen. Zulk een punt loopt veel gevaar af te breken, waarom men den top liever een afplatting geeft. Bij een bepaalde hoogte van tandkop (A- = m), mag de rolcirkel dus niet te klein worden, opdat de tand niet te spits toeloopt. Gaat men dit na voor 't ongunstigst geval, dat de eene steek-
kophoogte:
k = m (40) wordt, terwijl men de voethoogte
v= 1,2 m (41) maakt.
* Er is echter nog een tweede reden, waarom de rolcirkels niet te klein mogen zijn. Daar n.1. de beide tand-
flanken op dezelfde
cirkel overgaat in een rechte lijn (heugel), waarbij men veronderstelt, dat beide tandflanken elkaar ontmoeten op een hoogte van 1,5 w, waardoor bij een kophoogte van m een voldoende afplatting is gewaarborgd. Men heeft dan (zie fig. 37):
AB = V2 steek = % zm, dus AD = % zin CD = 1,5 rn, /_ CME = e constructie der tandflanken is uitgevoerd voor: 1°. Uitwendige aanraking der steekcirkels in fig. 38.
') 1" gunstige gevallen kan dit aantal tanden nog verminderd worden tot 8 of 9.
2°. Inwendige aanraking der steekcirkels in fig. 39. I)e vorm der tanden van liet buitenste rad is het contraprofiel van den vorm der tanden voor hetzelfde wiel bij uitwendige aanraking der steekcirkels.
3°. Heugel met tandrad in fig. 40.
Dit is de overgang tusschen 1°. en 2°., waarbij dus de steekcirkel van het eene rad een rechte lijn is.
Tot nu toe was de straal van den rolcirkel kleiner dan of hoogstens gelijk aan den halven straal van den steekcirkel. Grootere rolcirkels zijn wel mogelijk, maar leveren een zwakken tandvorm op. Verder dan de grootte van den steekcirkel kan men echter met den rolcirkel niet gaan en wel
om de volgende reden. Het aanrakingspunt der beide steekcirkels is op een gegeven oogenblik steeds punt van een tandflank van rad I en rad II (zie fig. 41). Is de kop van den tand van rad II gevormd door een rolcirkel, die grooter is dan de steekcirkel van I, dan zal bij de relatieve beweging, dus bij de rolling van I over II, het punt P van rad I niet vrij kunnen komen van dezen tandkop, d. w. z. de constructie is niet in vast materiaal uit te voeren. In het geharceerde
vlak tusschen de beide steekcirkels kan dus nooit een gedeelte van de ingrijpingslijn liggen.
Om bij inwendige aanraking der beide steekcirkels dit voor de ingrijpingslijn verboden terrein te vinden, merke men op, dat de pericycloïde van R om r (d. i. de baan, die het punt P van rad I beschrijft, wanneer I over II rolt), gelijk is aan de epicycloïde van R — r om r, zoodat de buitenste rolcirkel niet grooter kan zijn dan R — r, omdat anders om dezelfde reden als bij uitwendige aanra-
kirig het punt P van rad I niet lost van den tandkop van iad II (zie fig. 42). In het geharceerde veld mag de ingrijpingslijn niet loopen. *)
Men kan dus hoogstens den rolcirkel gelijk maken aan den steekcirkel. In dit geval wordt de hypocycloïde (voet der tand) tot een punt teruggebracht en spreekt men daarom dan ook van puntvertanding. Men gebruikt ze alleen, wanneer het kleinste rad minder dan 11 tanden moet hebben.
Het beginsel der harmonische- of stelselraderen wordt hier losgelaten, daar nu beide steekcirkels rolcirkels zijn en dus over 't algemeen ongelijk worden. Overigens bliift
t zelfde van kracht, wat omtrent de gewone vertandingen is gezegd. De voeten krijgen alleen een zoodanigen vorm, dat de kop van 't andere rad hier geheel vrij van blijft loopen (zie onder: Begrenzing der kuilen).
1) Behalve deze limiet bestaat er nog een andere. Daar de drukrichting moet gaan door de pool, is het dus een vereischte voor een tandflank, dat de normalen den steekcirkel snijden. De cirkelevolvente van den steekcirkel is dus een uiterste grens voor de tandflank, daar hier de normalen den steekcirkel nog juist raken. Daar echter in dit geval de ingrjjpingsljjn wordt gevormd door de gemeenschappeiyke raaklijn der beide steekcirkels, blijft deze toch van zelf buiten aanmerking, als liggende reeds in het verboden vlak.
De constructie is uitgevoerd voor:
] °. Uitwendige aanraking der steekcirkels in fig. 43. 2°. Heugel en tandrad in fig. 44. De kop van den tand van het rad wordt begrensd door een evolvente.
Men kan de puntvertanding in beginsel ook aan één kant houden. De tanden van het eene rad zouden dan punten worden. Daar om later te noemen reden (zie bl. 64), de ingrijping na de centraal beter is dan er voor, laat men het rad met de punttanden liefst drijven door het andere. De
V
ingrijpingslijn is een gedeelte van den steekcirkel van het gedreven rad. De tandflank van het drijvende rad krijgt den vorm eener epicycloïde; alleen de kop is werkzaam.
Daar de tand als punt niet kan worden uitgevoerd, geeft men het punt dikte en wordt het profiel der tanden dus een cirkel (diameter = V2 steek) voor het gedreven rad en een aequidistante eener epicycloïde voor het drijvende rad.
Dergelijke raderen heeten lantaarnraderen of beukelaars.
De constructie is uitgevoerd voor:
1°. Uitwendige aanraking der steekdrkels ju fig. 45. Een aequidistante is altijd gemakkelijk aan de bolle zijde eener kromme te construeeren, maar aan de holle zijde alleen dan in vast materiaal uit te voeren zoolang de kromtestraal grooter is dan de afstand, waarop de aequidistante moet worden getrokken. Daarom kan het begin der epicycloïde voor de constructie der aequidistante niet gebruikt worden, daar hier de kromtestraal van O af aan-
■
groeit. Bij nauwkeurige constructie zal blijken, dat het werkzame deel van den cirkelvormigen tand kan beginnen iets onder den steekcirkel '), dit is evenwel bij de gewone verhoudingen van pendiameter en straal van den steekcirkel zoo weinig, dat men gevoegelijk kan aannemen, dat de aanraking pas begint in de centraal en het begin der aequidistante, dus overeenkomt met het punt m der epicycloïde.
Door het veranderen van het punt in een cirkel, wijzigt zich ook de ingrijpingslijn en dat des te meer, hoe grooter de cirkel van den tandvorm wordt. Ook zal bij benutting
van het stukje tand, dat onder den steekcirkel van het drijvende rad mogelijk is, de ingrijpingslijn iets vóór de centraal komen te liggen.
2°. Heugel met tandrad in fig. 46. De heugel wordt hier uitgevoerd met penvormige tanden en gedreven door een rad met een aequidistante eener evolvente tot tandflank. Daar deze aequidistante dezelfde evolvente is, alleen over de halve dikte der pennen verplaatst, zal elke dikte van
De constructie, als die in fig. HO met een abnormaal grooten pendiameter, zal dit ten duidelijkste aantoonen.
pen een goede ingrijping geven, wanneer ze slechts kleiner blijft dan de halve steek.
De i 11 grijpingslijn wijzigt zich niet met de dikte der pennen maar blijft steeds een gedeelte van de steeklijn van den heugel. De ingrijping is alleen aan één zijde van clc centraal mogelijk.
De ingrijpingslijn is, zooals bleek, een rechte lijn, die een hoek § maakt met de gemeenschappelijke raaklijn dei'beide steekcirkels. De drukrichting is hier steeds dezelfde en langs de ingrijpingslijn gericht.
Men kan de rechte lijn, als ingrijpingslijn, niet verder gebruiken dan tot de raakpunten a en b der beide grondcirkels (zie flg. 47). De afstand a b mag dus niet te klein zijn, waarom de hoek § niet beneden een bepaalde minimumwaarde
inag gekozen worden. Deze minimumwaarde is ongeveer 15°. Hoe grooter echter de hoek 5 des te ongunstiger is de wrijving, waarom men S nooit boven de 22V2° neemt, zoodat:
15" ^3 >22V20.
Zooveel mogelijk houdt men steeds 15° aan.
Wat de kophoogte betreft, merke men het volgende op. De ingrijpingslijn kan zich niet verder uitstrekken dan de punten a en b (fig. 47). De grootst mogelijke kophoogten
worden dus begrensd door de cirkels door b met II tot middenpunt en door a met I tot middelpunt. Het is duidelijk, dat de kophoogte van het groote rad niet zoo groot kan worden als die van het kleine. Zoolang nu Pb grooter is dan de halve steek, kan men de koppen van beide raderen gelijk maken en kan men over 't algemeen de waarden van de formules (40) en (41) ook hier gebruiken. Is evenwel P6< V« steek, dan is de kophoogte van het groote rad bepaald
door de cirkel k.2max., terwijl men dan den kopcirkel van liet kleine rad zooveel naar buiten legt als noodig is, om de ingrijpingslijn voldoende lengte te geven. De kophoogte van beide raderen wordt dan ongelijk en het is alsof de tanden van het kleine rad radiaal naar buiten zijn verplaatst. Kan men ook dan nog niet voldoende lengte van ingrijpingslijn krijgen, zoo maakt men S grooter tot 22V2° toe. Bereikt
men het doel dan nog niet, zoo past men cycloïdale puntvertanding toe.
De constructie is uitgevoerd voor:
1". htwendige aanraking der steekcirkels in fig. 48.
De voet wordt, voor zoover deze niet ingrijpt, zoodanig gevormd, dat de tandkop van 't andere rad hiervan vrijloopt zonder wrijving (zie blz. 61).
2°. Inwendige aanraking der steekcirkels in fig. 49.
Het profiel der tanden van 't groote wiel is ook hier weer het contiapiofiel van de tanden in 't geval van uitwendige aanraking. Het raakpunt van den grondcirkel van het kleinste rad is het onderste grenspunt der ingrijpingslijn. Aan de andere zijde is men geheel vrij.
3°. Heugel met tandrad in fig. 50.
Daar hier de straal van den eenen steekcirkel is geworden, gaat ook de evolvente in een rechte lijn over. De
vorm der tanden van den heugel is dus die van een gelijkbeenig trapezium.
Begrenzing der huilen.
Bij den voet der tanden heeft men slechts een gedeelte, dat tot ingrijping komt; de geheele voet wordt nooit gebruikt. Dit geldt zoowel voor cycloïdale als voor evolvente tanden.
Beschouwt men n.1. in fig. 51 een willekeurige ingrijpingslijn ab, dan blijkt, dat binnen den cirkel Ia geen ingrijping plaats heeft voor rad I. Men noemt dezen cirkel de limietcirkel. Daar de bodemcirkel echter vrij moet loopen van den kopcirkel van rad II, ligt deze dieper dan de limietcirkel en heeft dus voor het gedeelte voet tusschen dezen cirkel en den bodemcirkel geen aanraking plaats.
Men noemt dit gedeelte van den voet de kuil. De eenige vereischte voor het kuilprofiel is, dat het vrij moet loopen van den kop van den tand van het andere rad. Men gaat dus den weg na, die het hoekpunt van den kop van rad II beschrijft bij rolling van rad II overl; het kuilprofiel wordt dan iets meer naar binnen geconstrueerd. De gezochte weg is een gedrukte epicycloïde en kan 't gemakkelijkst geconstrueerd worden volgens de methode van fig. 21.
De constructie is uitgevoerd in do figuren 43 en 44.
Men laat den kuil nooit tot ingrijping komen, daar dit te veel wrijving zou kosten (S wordt langzamerhand 90n) en de duur der ingrijping er niet grooter door wordt.
1 'uordeelen van cycloïdale en van evolveute tanden.
Bij cycloïdale tanden is de wrijving iets minder dan bij
X.
Fig. 50.
evolvente tanden. De as-afstand kan bij de laatste echter binnen zekere grenzen veranderlijk zijn zonder een verkeerde ingrijping te krijgen, daar door een grooter worden van den as-afstand alleen de hoek 5 iets grooter wordt.
Voor cycloïdale tanden moet men echter zeer oppassen, dat de as-afstand steeds dezelfde blijft, daar dan b.v. bij uitwendige aanraking der steekcirkels bij verwijdering der assen, een hypocycloïde op een hypocycloïde zou moeten werken en een epicycloïde op een epicycloïde, 't geen niet mogelijk is.
Ook wat sterkte betreft staan de evolvente tanden boven aan, daar ze meer naderen tot den vorm van een ligger van gelijken weerstand.
Overbrengingsverhoudinj en aantal tanden.
Voor windwerken neemt men de verhouding van het
ïl
aantal omwentelingen der beide raderen - -- ongaarne grooter dan 1 :10.
Fig. 51.
Voor drijfwerkraderen gaat men veelal niet hooger dan 1:6 (soms 1:7) bij langzamen gang; het minimum aantal tanden ligt dan in de buurt van 30. Voor snelleren gang
Tl
is de grens van 1 liefst 1 : 4, terwijl het minimum aantal "2
tanden + 50 bedraagt. Gewone raderen worden met niet minder dan 11 tanden gemaakt, alleen in zeer bijzondere gevallen kan men daar beneden gaan; bij een minder aantal
maakt men gebruik van puntvertanding. Daar in dit geval door de gedaante der kuilen de tanden een zwakken vorm krijgen, maakt men ze meestal van smeedijzer en voorziet ze van wangen.
Bijzondere tandvormen.
Reeds den ouden molenmakers was het bekend, dat de wrijving vóór de centraal nadeeliger werkt, dan die na de centraal. Dit is de reden, waarom men bij lantaarnraderen het gedreven rad met de penvormige tanden construeert (zie blz. 55). Bij gewone raderen maakt men de koppen der tanden voor dit doel wel ongelijk van grootte, en wel den kop van het gedreven rad
= 0,5 m,
den voet
vt — 1,7 m
en voor het drijvende rad den kop
k2 = 1,5 m
en den voet
v2 — 0,7 m.
Bij lantaarnraderen kan men de tanden als stiften uitvoeren bevestigd tusschen twee platen. Men kan echter ook om een dunnere stift de eigenlijke cylindrische tand laten draaien en zoodoende rollende wrijving krijgen tusschen de tandflanken van beide raderen of van heugel en rondsel. Lantaarnraderen zijn uitstekend voor uitvoeringen, die aan de buitenlucht zijn blootgesteld, omdat sneeuw, stof, vuil enz. door de sporten heen kunnen vallen.
Moeten de wielen voornamelijk één kant opwerken dan kan men de zijde van den tand, die niet werkt, als evolvente uitvoeren met een grondcirkel, waarvan de straal r tot b.v. 0,8 R kan genomen worden (zie fig. 52). Men krijgt dan een sterken vorm van tand en behoudt tevens de mogelijkheid van terugdraaien der raderen.
In den laatsten tijd heeft men uitvoering gegeven aan t maken van tandraderen met uitsluitend rollende wrijving.
Beschouwt men de twee wielen (fig. 53), dan zal, wanneer men deze over de breedte in strooken verdeelt, 1 op I, 2 op 11 enz., onafhankelijk kunnen werken. Wanneer men nu die deelon ten opzichte van elkaar wat verdraait, do
Fig. 5'2.
volgende verder dan de voorgaande en men denkt de verschillende deelon weer aan elkaar vast, dan blijft een goede ingrijping dei ïaderen bestaan. Bij steeds verder doorgezette verdeeling blijkt, dat de tanden bijv. schroefvormig over het rad kunnen verloopen. De ingrijping wordt op deze wijze zeer verlengd.
Daar echter de tanden elkaar nu ook in de richting van de as wegdrukken, maakt men, om dit te voorkomen de zoogenaamde hoektanden. Den hoek tusschen beide schroeflijnen maakt men 2 X &5° & 60°. De draaiingsrichting neemt men, met het oog op de meerdere sterkte, liefst zoo, dat de punten zich naar elkaar toe bewegen.
Maakt men s minstens gelijk aan den steek, dan kan
men, wat het tandprofiel betreft, de lengte der ingrijpingslijn =r 0 maken, zonder dat de beweging onmogelijk wordt. Men heeft in dit geval uitsluitend met rollende wrijving te doen, daar slechts één punt elk oogenblik raakt. De tandhoogten worden dan ook kleiner uitgevoerd.
Voor zeer zware krachten voorziet men deze wielen ook van wangen en worden ze meestal van gietstaal vervaardigd.
Om zeer groote overbrengingsverhoudingen te verkrijgen is het Gnssonrad «) geconstrueerd, men kan hiermede tot 1 :50 gaan.
Men heeft eigenlijk te doen met 4 wielen, twee aan twee naast elkaar gelegen op de twee assen. De beide eerste hebben ieder één tand, de beide andere zijn lantaarnraderen met 5-50 tanden met V2 steek verschil in stand.
Geeft men het grootste rad (fig. 54) punten binnen den
steekcirkel tot tanden, dan zullen deze punten bij rolling van het groote over het kleine wiel, gerekte epicycloïden beschrijven, welke dus in dit geval den tandflank van het eerste rad vormen. Daar, waar beide takken voor links- en rechtsrolling elkaar ontmoeten, is het eindpunt van den tand.
\ ooi de constructieve uitvoering kan liet punt echter niet dienen, zoodat de tand dan ook wordt uitgevoerd in den vorm van een holle bus, draaibaar om een vaste spil.
') Zie Hfitte I. Willis, Principes of' Mecbatiiem.
De tandvorm van beide kleine raderen wordt nu een aequidistante van bovengenoemde gerekte epicycloïde. De twee wielen naast elkaar zijn noodzakelijk om een voortdurende ingrijping te waarborgen.
I). Tandraderen voor snijdende assen.
Conische tandraderen.
Zijn de beide wrijvingsschijven pqrs en rstu (fig. 55) gegeven, dan construeert men het profiel der tanden voor den grootsten straal van ieder rad, d. w. z. voor de steekcirkels S, en S2, omdat dan bij het bepalen van het tandprofiel ook voor den kleinsten straal (steekcirkels Sj en s.2) mogelijk gemaakte fouten niet vergroot maar verkleind worden. Wat de sterkte betreft moet men steeds met het kleinste profiel rekenen.
Beschouwt men de beide steekcirkels St en S2, dan blijkt dat ingrijping zal plaats vinden op het boloppervlak, waarop deze beide cirkels liggen, d. i. op den bol met S tot middenpunt en gaande door de punten p, s en t. Daar evenwel slechts twee smalle strooken van den bol, begrensd door de cirkels en Kj voor rad I, en door V2 en K2 voor rad II, werkzaam zijn, maakt men een kleine fout door aan te nemen, dat de ingrijping verloopt over de twee complementaire kegelvlakken Isp en IIs<, waarvan de gemeenschappelijke beschrijvende lijn I II loodrecht staat op de raaklijn der beide wrijvingsrollen. Op deze wijze krijgt men een benaderde loodrechte doorsnede der tanden, terwijl elke opvolgende kan gevonden worden door verkleinen der eerste naar S toe. De cirkels Kj en Vj resp. K2 en V2, zijn zoodanig op de kegelmantels getrokken, dat op de beschrijvende lijnen der kegels de vereischte kophoogte en voethoogte tusschen deze cirkels en de steekcirkels S, resp. S2 worden afgesneden.
Om nu het profiel te construeeren, denke men zich de
69
kegelvlakken in een plat vak uitgeslagen en de tanden met de zoo verkregen steekcirkels (stralen R, en R,2) op de gewone wijze geconstrueerd (meestal maakt men hier gebruik van evolvente tanden). I)e kopcirkels K, en K.2 en de voetcirkels V1 en V2, zijn in de figuur op de afstanden m resp. 1,2 m van de steekcirkels en J32 getrokken. De steek en dus ook de dikte van den tand op den steekcirkel regelt zich niet naar de cirkels S, maar naar de cirkels S (in horizontale projectie S').
Is op deze wijze het tandprofiel a, b, c, d, e, f bepaald, dan brengt men het eerst in horizontale projectie over. Hier vertoonen alle tanden denzelfden vorm. De tandbreedten kunnen (steeds wordt over den grootsten straal van het rad gesproken) op de verschillende cirkels Kt', S,' en V,' onverkort worden afgezet, zooals ze voorkomen op de cirkels Kn S, en V,. (Men teekent hiervoor eerst de hartlijnen der tanden, waardoor de horizontale projectie van het tandprofiel: b', c', cl', e', f', onmiddelijk door afzetting aan weerszijden dier hartlijn is te vinden).
Het is duidelijk, dat bij nauwkeurige teekening meerdere cirkels gebruikt kunnen worden, dan alleen de kop-, steeken voetcirkels. De overeenkomstige cirkels in de constructie en in de horizontale projectie zijn gemakkelijk door overbrenging in de vertikale projectie te vinden.
De horizontale projectie van den tand is nu gemakkelijk te voltooien, daar alle beschrijvende lijnen naar het puritl' toeloopen, en dus de overeenkomstige punten van a', b', c\ cl', e' en f' voor den kleinsten straal van het rad, als do snijpunten der verbindingslijnen van bovengenoemde punten met 1' en de cirkels vx', s,' en kt' worden gevonden.
De vertikale projectie van het wiel is symetrisch ten opzichte der lijn IS, voor 't overige projecteeren alle tanden zich anders, ofschoon toch op dezelfde wijze. Men haalt daartoe de punten a', b', c', cl', e', f' Joodrecht naar boven op de vertikale projecties der bijbehoorende cirkels, d. z. de lijnen K,, S, en V,; deze zoo opgehaalde punten zijn aan-
geteekend als a, b, c, d, e en f. Ter voltooiing der tandprojectie zij hier weer opgemerkt, dat alle beschrijvende lijnen naar het punt S loopen, waardoor ook de punten voor den kleinsten straal van het rad op de cirkels t?,, s, en A, gemakkelijk zijn te vinden.
De tandprojectie in fig. 55 voor één tand van rad I geheel doorgevoerd, geschiedt voor rad II op geheel dezelfde wijze, alleen moet hier de horizontale projectie vervangen worden door de projectie op een hulpvlak loodrecht op as II.
Het is niet noodzakelijk, dat de beschrijvende lijnen der tanden, of kortweg de tanden, naar het snijpunt der beide assen verloopen. Men kan analoog met het geval bij evenwijdige assen, de tanden een hoek laten maken met de genoemde richting en zoodoende de ingrijping vergrooten. Ook hier kan men de wrijving verminderen door de zoogenaamde hoektanden met korte ingrijping.
E. Tandraderen voor kruisende assen.
Hyperbolische tandraderen.
Zijn de frictieschijven (fig. 56) gegeven, dan kan men hierop door eenzelfde benaderingsmethode als bij de kegelraderen het tandprofiel construeeren. Men gebruikt hiervoor de twee complementaire kegels, waarvan de gemeenschappelijke beschrijvende lijn weer loodrecht staat op de aanrakingslijn der beide wrijvingsschijven. Het eenige onderscheid met de constructie bij kegelraderen (de gedeelten der hyperboloïdes, die men gebruikt, kan men door kegelvormige schijven benaderen), is alleen, dat men de beschrijvende lijnen nu niet naar één punt, het snijpunt der beide assen trekt, maar onder denzelfden hoek met de assen laat loopen, dien de beschrijvende lijn der hyperboloïdes daarmee maakt. Tot het bepalen van den tophoek der beide constructiekegels laat men de beschrijvende lijn zoover draaien tot ze door het uiterste punt van de projectie der hyperboloïde I resp. II gaat.
Door de glijding der tanden ook in breedterichting over elkaar (zie formules 7, 7a en 76), is de wrijving dezer wielen zeer veel grooter, dan die van cylindrische en conische tandraderen.
Hyperbolische raderen kunnen niet met hoektanden worden uitgevoerd, met het oog op bovengenoemde glijding.
Schroef raderen.
*In plaats van de beide middenstukken der hyperboloïden, kan men ook schroefraderen toepassen. Het onderscheid is gelegen in de aanraking. Terwijl deze bij hyperbolische raderen over een lijn plaats grijpt, is het contact bij schroefraderen slechts in één punt.
De grondvorm is de omwentelingscylinder. Op dezen cylinder wordt een schroef van een bepaald profiel gesneden. De spoed der schroeven voor de beide raderen hangt af van den hoek tusschen de twee assen en van de overweging,
dut in het aanrakingspunt do beide schroeflijnen dezelfde raaklijn moeten hebben. Bovendien kan men eischen, dat even vóór en even na de aanraking, de raaklijn zoo min mogelijk van stand is veranderd. Aan dit laatste wordt voldaan, wanneer de diameters even groot worden genomen als de keeldiameters der hyperboloïden, die voor de gevraagde overbrenging noodig zouden zijn.
Wijkt men veel van do overbrenging 1 op 1 af, dan zal (.* = 90") het eene rad groot worden ten opzichte van het andere. In dat geval laat men bovenstaanden eisch vallen, maar kan dan ook slechts één rad als zuivere schroef uitvoeren (worm), terwijl liet andere dan zoodanig geconstrueerde tanden verkrijgt, dat een goede ingrijping gewaarborgd is (wormwiel).*
Worm en wormiciel.
Deze overbrenging is bet meest in gebruik voor elkaar rechthoekig kruisende assen, waarom dit geval hier alleen zal behandeld worden.
De omwentelingslichamen, die den grondslag vormen, zijn twee cylinders; voorwaarde is, dat de omtreksnelheid van den eenen cylinder, gelijk is aan de axiale snelheid van de schroef op den anderen cylinder.
Als profiel van de schroef neemt men het gelijkbeenig trapezium met een basisboek van bijv. 75° en een hoogte van 21/4 m, zoodat de kopcirkel op een afstand m en de voetcirkel op een afstand 1 i/tl m van den steekcirkel loopt. Wat den kop- en den voetcirkel van 't wiel betreft, geldt hetzelfde.
De tanden van het wiel laat men voor langere ingrijping den worm omvatten, zoodat in dwarsdoorsnede van het wiel de tanden begrensd worden door cirkels uit het midden van den worm getrokken.
De steek op het wiel is gelijk aan den spoed van den worm gedeeld door het aantal gangen per spoed (n). Heeft het wiel
dus n tanden, dan is de overbrenging n .
Vroeger construeerde men den tand vorm op het wiel als behoorende bij een evolvente-lieugel, waarbij de beschrijvende lijnen schuin op het wiel stonden onder een hoek overeenkomende met den spoed van den worm. Daarna vijlde men net zoolang aan de tanden tot ze tusschen den worm pasten. Het is duidelijk, dat op deze wijze wel het te veel werd weggenomen, maar het te weinig er niet bij kwam. Tegenwoordig fraist men de tanden op het wiel met behulp van het wormprofiel.
Wil men het wiel gieten, dan is het noodzakelijk het goede tandprofiel te construeeren 1).
De midden doorsnede (van een vlak gaande door de as van den worm, loodrecht op die van het wormwiel) der tanden, is de gewone evolventevorm van fig. 48, daar de normaal doorsneden van den worm hier passeeren juist alsof een heugel het wiel voortduwde 2).
De andere doorsneden, evenwijdig met de eerstgenoemde, krijgen echter een anderen vorm, daar men hier voor de doorsnede door den worm een ander profiel krijgt; de vergelijking met den heugel blijft evenwel bestaan, zoodat men den tandvorm daar ter plaatse toch als behoorende bij de heugeltanden, die het doorsneevlak aangeeft, kan bepalen.
Het komt er dus vooreerst op aan een willekeurige doorsnede over den heugel te construeeren. Beschouwt men het doorsneevlak EF 3) (zie blad I), dan kan men de rechter begrenzingslijn van het contra-profiel der heugeltanden construeeren door middel van vlakken, die gaan door de as van den worm en dus het schroefvlak volgens rechte lijnen snijden (zie de lijnen 0 — 0, 5 — 5, 12 — 12 rechts). Op deze lijnen, met behulp van de buitenste schroeflijn gemakkelijk te vinden, zijn de overeenkomstige punten van het door-
1) Zie Unwin. Z. d. V. D. 1900, II. Artikel van Ad. Ernst.
2) Zie de collegebladen van worm en wormwiel I en II.
8) In de rechter projectie moeten de benamingen der verschillende doorsneden in omgekeerde volgorde, als op de bladen staat aangegeven, worden genomen.
sneevlak EF door projecteering te bepalen. De linker zijde van het bovengenoemde profiel vindt men onmiddelijk door afzetting van de openinghoogte op de plaats van elk geconstrueerd punt, derhalve uit het normale contra-profiel van de schroef (zie 5—5').
Men kan den tandvorm van het wiel op de plaats deiverschillende doorsnedevlakken vinden öf volgens de methode van fig. 30, öf door het in verschillende standen plaatsen van het gevonden contra-profiel, waarbij echter niet moet worden vergeten beide zijden zoover naar elkaar toe te plaatsen als de speelruimte bedraagt. Het laatste is op de bladen I en II in toepassing gebracht. Men gaat als volgt te werk.
Teeken op een vel gewoon papier de door constructie gevonden kuilprofielen (over de speelruimte vernauwd) naast elkaar, trek de lijn 7'—6 als steeklijn van den heugel (blad I rechts) en pas hier op gelijke deelen af; teeken op calqueerpapier den steekcirkel van het wormwiel en zet hierop als bogen dezelfde deelen af als op de lijn T— 6; zet op het gewone papier de baan van het middenpunt af met overeenkomstige verdeeling; laat het middenpunt en het raakpunt van steekcirkel en steeklijn op het calqueerpapier achtereenvolgens samenvallen met de overeenk. punten 7'— 6 op liet papier en trek op het calqueerpapier de daarbij behoorende standen van het heugel-contra-profiel door.
De tandvorm van het wiel daar ter plaatse is de omhullende van deze zoo verkregen lijnen. Op de bladen I en II is het aldus op het calqueerpapier te verkrijgen resultaat ook geteekend.
Construeert men volgens de wijze van fig. 30 de tandprofielen van het wiel uit de verschillende punten van het heugeltandprofiel, dan is een vereischte de normaal te kennen in een willekeurig punt van het laatste. Hiertoe gaat men als volgt te werk (zie fig. 57).
De normaal staat loodrecht op het osculatievlak; van dit vlak kent men twee lijnen, n.1. een beschrijvende lijn van
liet schroefvlak bijv. AM, wanneer voor liet punt A de normaal wordt gezocht, en de raaklijn R aan de schroeflijn, waar het punt op ligt. Deze raaklijn heeft dezelfde helling
als de schroeflijn, namelijk —spoed ^ spoed; straa^
omtrekcyl. 2tt
Daar voor eiken worm sPoec' één bepaalde waarde heeft,
u 7T
kan men dus de helling van de raaklijn in elk punt gemakkelijk vinden. Brengt men door M een hulp vlak M'D', evenwijdig met het projectievlak van de langsdoorsneden van den worm, dan zal de raaklijn dit vlak snijden in het
punt D', gelegen op een afstand a van een door A aangenomen normaal- of dwarsdoorsnede, zoodanig, dat \r = a: A'D';
u7T
deze afstand a toont zich in langsprojectie onverkort, zoodat het punt D" gemakkelijk kan worden gevonden. Door D" en A" is nu de raaklijn in langsprojectie bepaald. D"M" is de doorgangslijn van het osculatievlak met het genoemde hulpvlak, waarmede nu de projectie van de normaal als loodlijn op D"M" wordt gevonden.
Globoïcl en globoïdracl.
Een in de laatste jaren meer op den voorgrond tredende
vorm van overbrenging bij kruisende assen, is de globoïcl met globoïdrad 1).
Een globoïd noemt men elk omwentelingslichaam, dat ontstaat bij wenteling van eenen cirkel om een as. Wanneer men op dit omwentelingslichaam schroefdraad aanbrengt, dan kan men dit o. a. een rad, waarvan de steekcirkel dezelfde
is als de beschrijvende cirkel van de globoïd, laten drijven, door dit rad van tanden te voorzien van hetzelfde profiel als dat van den schroefdraad.
De eenvoudigste vormen van globoïden ontstaan, wanneer de cirkel in hetzelfde vlak ligt met de wentelingsas. Een dergelijke globoïde, waarbij de as den cirkel snijdt, is ge-
1) Zie: Willis, Principles of' mechatiisui. Eetileaux, Der Konstrukteur.
bruikt bij het mechanisme in fig. 58, dienende tot nauwkeurige stelling eener schaarbeweging of smoorklep, waarbij ook snelle verplaatsing mogelijk is: het handel (het tandrad hier) is voorzien van één tand, die ten dien einde kan worden uitgelicht.
In het geval do cirkel buiten de as ligt (maar toch in hetzelfde vlak), krijgt men den globoïdevorm afgebeeld in fig. 59. Deze met het bijbehoorende rad kan den worm met wormwiel vervangen.
Voor een aoede overbrenging moeten ffeliike wentelingen
—o * — -
van de globoïd, gelijke wentelingen van het globoïdrad geven. De schroeflijn op de globoïd, die dit moet veroorzaken, moet dus constanten spoed langs de meridiaan gemeten hebben en maakt dus niet steeds denzelfden hoek met de as. De schroeflijn zal dus in fig. 58 voortdurend schuiner, in fig. 59 voortdurend vlakker verloopen naar de einden toe.
Om de schroeflijn in teekening te brengen, gaat men als volgt te werk. Men verdeelt de (grootste en kleinste) cirkel in de projectie loodrecht op de as in een aantal gelijke deelen (in fig. 59 : 12) en trekt de overeenk. stralen. Evonzoo verdeelt men den afstand op de meridiaan-doorsnede van
den kleinsten tot den grootsten cirkel in 12 gelijke deelen en trekt uit de verdeelpunten lijnen loodrecht op de as. De verschillende doorsneden evenwijdig aan het tweede projectievlak, die overeenkomen met de deellijnen, projecteeren zich in de eerste projectie als deze lijnen, in de tweede zijn het cirkels, die met de overeenkomstige stralen in het snijpunt, onmiddellijk de punten der tweede projectie van de schroeflijn opleveren. Deze punten overgehaald op de overeenk. lijnen loodrecht op de as in de eerste projectie, leveren hier de punten der gezochte projectie op.
Daar er geen relatieve verplaatsing is volgens de meridiaandoorsnede, is elk profiel van tand, wanneer zoowel worm als wormwiel hetzelfde krijgen, mogelijk. Verder is een ingrijping anders dan in de meridiaan-doorsnede niet bestaanbaar, daar een dwarsdoorsnede AB over den worm, evenwijdig aan de as, den eigenaardigen vorm aanneemt als in fig. 59 is geteekend.
Alleen over de lijnen in hoogterichting der tanden is aanraking. De ingrijping kan zich uitstrekken over 8 of meer tanden. Daar de hoogte der tanden geen invloed op den duur der ingrijping uitoefent, maakt men de tanden laag. De trapeziumvormige doorsnede is dan het sterkst en eenvoudigst. Een wijziging heeft men door de tand van het rad in den vorm van een rolletje uit te voeren, waardoor dan het profiel van den schroefgang rechthoekig wordt. De glijdende wrijving wordt dan in rollende omgezet. Een voordeel van deze constructie is ook nog, dat men niet tusschen alle openingen van den worm rolletjes behoeft te plaatsen, maar bijv. om de 4 of 6. Voorziet men het rad dan wel van de pennen, waarop deze rolletjes zouden moeten zitten, dan kan men na slijting de volgende pennen van rolletjes voorzien (de oude laat men zitten) en zoodoende snel weer een goede overbrenging verkrijgen.
Een zeer bijzondere en eigenaardige constructie is die van Hawkins (fig. 60), waarbij hij overbrengingen verkreeg van 1 op 44. De rollen zijn zeer groot uitgevoerd en 4 in
getal, terwijl het profiel op den worm is uitgevoerd als een gelijkbeenigen rechthoekigen driehoek.
*De uitvoering van rollen voor de tanden van het globoïdrad, zal geen zuivere overbrenging geven. In radiale richting gezien moet n.1. de cirkelvormige doorsnede der rol, raken aan een lijn, die een hoek maakt met het vlak der meridiaan-doorsnede van den worm; hierdoor valt het aanrakingspunt iets buiten dat vlak en dat des te meer, naarmate de schroeflijn meer gaat hellen. Wanneer dus do worm een
eenparige wenteling heeft zal het rad eenige, hoewel kleine snelheidsschommelingen vertoonen. Tevens moet de rol eenige speling hebben in de groef van den worm.?
Bij worm, zoowel als bij globoïd moet men bij de uitvoering er op letten, dat het geheel moet kunnen gemonteerd worden zonder het rad te verwijderen.
De gemakkelijkste constructie is, de as los van de worm, en öf vierkant te maken (alleen geschikt bij kleine afmetingen) üf van een spie te voorzien, waardoor men in staat is de as uit don worm te trekken en daarna deze te verwijderen en omgekeerd.
F. Sterkteberekening en constructie.
Tanclstcrkte.
Voor de berekening van de afmetingen van een tand:
hoogte = //,
dikte aan den voet =cl,
KrPoHtp h
neemt men aan, dat de omtrekskracht P werkt aan het uiteinde van den tand, als zijnde het ongunstigste geval (zie fig. 61); in dit geval is:
P h = ~-bd2 (41)
wanneer s■ is de toe te laten spanning in het tand materiaal.
Wanneer de volle kracht juist op een hoek terechtkwam en het breukvlak zou een breedte krijgen van b\ dan is:
6
P l=°-b'd2 (42)
b
wanneer l is de loodlijn uit den hoek van den tand op het breukvlak neergelaten.
Uit beide vergelijkingen (41) en (42) volgt voor gelijke 7
T = T (43)
Noemt men den hoek, die 't breukvlak maakt met het
zijvlak van den tand x, dan is:
, b' sin x . b' cos x . ,, sin 2x
l — rr = b sin x cos x — b —5—,
b &
l is dus een max. voor x = 45° en kan niet grooter worden dan l — Va b\ waardoor men voor de max. breedte van den tand vindt uit verg. 43:
b = 2 h.
Gaat men hier boven, dan zou men den tand bij in 't middenaangrijpende kracht wel sterker maken, maar bij mogelijk aangrijpen van deze in een hoekpunt, zou de tand toch schuin kunnen afbreken.
Veelal neemt men als grens:
b = 2s (44)
als s de steek is en blijft dus onder l = i/2 b\ daar over 't algemeen h = 0,7s.
De doorbuiging van eenen tand is zeer gering. Heeft men een tand van parabolischen vorm (de slapst te construeeren tand bij een gegeven materiaalspanning o-) dan is (fig. 62) de doorbuiging:
, 2P h3
en
P* = -Pdus
2 h2 180 mM, dan maakt men ze uit twee deelen, zooals fig. 66 aangeeft.
Xaaf.
Ieder wiel is op de as bevestigd door middel van een
naaf, wier afmetingen volgens de as moeten worden vastgesteld. Men neemt do dikte der naaf:
t = 10 mM + (d0 -f ^: 4 a 5,
waarin d de dikte der as en do de dikte is, die de as zou moeten hebben, wanneer ze alleen het wringmoment had over te brengen.
Waar de spie zich bevindt verdikt men de naaf of men maakt de geheele naaf over dit bedrag hooger.
De lengte der naaf:
1= 1% a 1 %d.
Wanneer de naaf dient tot afstandstuk en dan langer
wordt dan noodig is, kan men de naaf van binnen van een uitholling voorzien (fig. 68), die den naam van kamer draagt. Men maakt dan:
Z/2 = 0,4 a 0,5 d. Waar de spie loopt, laat men gaarne het
materiaal van den naaf tegen de as aanblijven.
De spie is tapsch in radiale richting, met een helling bijv. van 1 op 60 a 1 op 100.
Als afmetingen van de spie kan men nemen:
breedte: b = *1^1-^-6 a 8 mM naarmate d klein of groot is, hoogte: y2b -f-1 a 2 mM.
Is de naaf uit twee deelen, dan kan men beide bevestigen öf door krimpbanden öf door bouten. Wielen tot een diameter van 1,8 M worden veelal uit een stuk gegoten, daar boven laat men de velling dikwijls nog uit een stuk bestaan, maar
maakt de naaf in tweeën. Boven 3,5 M maakt men het geheele rad uit 2 of meer deelen. Krimpringen zijn moeilijk te berekenen. Men doet het best ze vierkant van doorsnede te maken. Noemt men de afmeting z, dan is: s^b (spiebreedte).
Bouten berekent men op de centrifugaalkracht, die de beide helften uit elkaar tracht te trekken, waarbij men dan aanneemt dat de velg niets daarvan houdt. Is de velg uit twee stukken, dan berekent men de bevestigingsbouten daarvoor op dezelfde wijze en neemt dan aan, dat de naaf niets opneemt.
Spaken.
Voor het aantal spaken neemt men bijv.:
ns — ^201)
wanneer D is de middellijn van het wiel in Meters
Heeft men een tandrad met ingezette houten tanden te vervaardigen, dan zorgt men er voor, dat het aantal spaken deelbaar is op het aantal tanden of omgekeerd.
De berekening van de doorsnede der spaken geschiedt naar de volgende beschouwing.
Wanneer de spaak loodrecht naar beneden staat (ongunstigste geval) krijgt elke spaak voor zijn rekening, het gewicht plus de centrifugaalkracht van 1/» deel der velg (aantal spaken n). Men neemt hier dus aan dat de velg niet meehelpt. Komt de spaak in de buurt van het andere rad, dan moet ze een zeker buigmoment opnemen, zoodat, ligt dit laatste onder, bij de daardoor ontstane spanning nog die door het gewicht en centrifugaalkracht veroorzaakt moet worden opgeteld; ligt het andere rad onder, dan moet bij de buigspanning worden opgeteld de spanning ontstaan door het verschil van centrifugaalkracht en gewicht.
Veronderstelt men de velling stijf dan kan men rekenen, dat de tangentiaalkracht P, die de beide raderen op elkaar uitoefenen, door de velg op hoogstens 3 spaken wordt over-
gebracht en wel in het geval, dat één spaak juist op de verbindingslijn der radmiddelpunten staat. De toestand wordt hier dus het ongunstigst, wanneer aan weerszijden dier verbindingslijn zich een spaak bevindt; in dit geval moet de tangentiaalkracht door twee spaken worden opgenomen.
Fig. 09.
Is de velling slap, dan zal het ongunstigste geval intreden, wanneer een spaak op de centrale valt, daar in dit geval de tangentiaalkracht door één spaak moet worden opgenomen, aangezien de velg te slap is om het op de volgende en voorgaande over te brengen.
Velling slap, spaak stijf. (Eén spaak werkt).
Men veronderstelle bij den overgang van spaak en velg
een scharnierend punt; men heeft dan te doen met een ligger aan één zijde ingeklemd en aan het uiteinde belast met een kracht P; de lengte van den ligger is Z = R - r (fig. 70).
Men heeft: P l — ,-W.
Daar de doorsnede van de spaak meestal wordt als fig. 69 aangeeft, is dus:
w = Wr'b of w = w,
waarbij men bij de kruisvormige doorsnede alleen met den rechthoek rekent.
Voor de verhoudingen der maten dier doorsnede heeft men aan de naaf:
t ^ b h ^ 5b en hi Êï 31.
Aan de velg worden deze afmetingen 4/5 van die aan de naaf.
Spaken slap, velling stijf. (Twee spaken werken).
Was de velling er niet dan zou door de kracht P/2 een doorbuiging worden veroorzaakt, waardoor het uiteinde een afstand f\ zakte en de raaklijn daar een hoek met den oorspronkelijken stand zou maken. Door de stijve velling
Fig. 71.
ontstaat een tegenwerkend koppel K, dat het einde over een afstand f2 terug beweegt, zoodat de totale doorbuiging wordt:
f—fi —f»
terwijl de hoek van de raaklijn wordt:
X =
Men heeft nu:
f __ P/s i3 rn _ P/, l2
3 EI *x ~ 2 EI , _ KI2 KI '2 — 2EI en •*2 — EI"
Bovendien is:
R (^i ^2) —- f\ — f2 R == ^ "t-
waaruit:
*=¥><(£-£)•
Daar r klein is ten opzichte van l, kan men bij benadering zetten:
Het moment, dat op de gevaarlijke doorsnede (bij de naaf) werkt is dus:
P/s z - P/f *,
zoodat:
Pl w = 7 W,
O
Velg.
In den vorm der velg is niet veel
onderscheid. De spaken kunnen aangrijpen in het hart (fig. 72) of aan den kant der velg (fig. 74). Dit laatste alleen bij noodzakelijkheid, daar het door de onsymetrische constructie niet zoo goed is.
wanneer ln te gro(
De dikte der velg neemt men meestal de helft van de steek (s/.2), terwijl men voor het gieten, deze naar het midden ^ wat op laat loopen. De ribverstijving is goed, ofschoon men daar voorzichtig mee moet wezen. Noemt men het traagheidsmoment van de rechthoekige doorsnede (fig. 74) I0 en dat van dezelfde doorsnede met een ribverstijving I„, dan zal wel:
Io In,
maar daar l0 < ln, kan toch best W„ = !" kleiner worden dan W0 = y-
ln
it wordt.
De velg kan men langs de tanden geheel of gedeeltelijk laten doorloopen voor versterking der tanden (zie blz. 64).
Bij kegelraderen worden de velgen als in fig. 73, alleen staan zij met de tanden dan schuin op de spaken. Bij kleinen diameter der raderen wordt het geheel uitge¬
voerd als de figuren 75 en 76 doen zien. Wordt de afstand van velg en naaf grooter dan in 76, maar toch nog niet groot genoeg om bepaalde spaken te maken, dan voorziet men de schijf tusschen velg en naaf van 4 of meer ronde gaten.