Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

Nu stemt met een minimalen vector een minimale normaal overeen, waaruit weder volgt dat het uiteinde van de kromtestraal van de normaal in R verder ligt op de normaal dan Z, tenzij het, als grensgeval, met Z samenvalt. Dit toch is gemakkelijk aan te toonen. Willen we kortste afstanden zoeken van een punt tot de punten van een kromme, dan is 't a priori duidelijk dat we die te zoeken hebben onder de normalen van dat punt aan de kromme. Laat in de figuur RZ een normaal zijn, denken we de IJ-as langs RZ en een X-as langs de raaklijn in R. Als RZ = a, dan is de afstand van Z tot een punt van de kromme : x2 -|- (y—a)2 — a2 -(+ x2—2ay -|- y~. Is y = f (x) de vergelijking van de meetkundige plaats der zwaartepunten en zijn x en y oneindig kleine grootheden, dan vinden we voor dien afstand (onder verwaarloozing van oneindig kleinen van hoogere orde dan de 2'lc) a2 -f" x3 — ax2 f* (o). Is p de kromtestraal van y

= f (x) in het punt R, dan kunnen we schrijven: p = | j-

dus a2 x2 — ax2 f" (o) = a- -(- x2 (i — a).

Is a < p, dan is a werkelijk een minimum, a ]> p nimmer. Keeren we tot de figuur terug. Laat PO = p nu de koorde zijn, liggende in 't niveauvlak. Dit is een rechthoek met de zijden p en 1 (= lengte van den cylinder). De hoofdtraagheidsmomenten van dezen rechthoek zijn dus:

pl3 en ' p3l.

12 12 r

De inhoud van het ondergedompelde gedeelte is il, als i de oppervlakte van 't afgesneden segment is. De beide hoofdkromtestralen, in het punt R van 't opp. (Z) zijn dus:

1 n i P12 1 -> -i P3

,c, = — pl' : il = .en p, = p''l : il = ..

12 121 " 12 121

Nu is p3 de kromtestraal van de in de figuur geteekende meetkundige plaats. In de onderstelling, dat RZ de minimale vector is, hebben we derhalve

> RZ.

Is nu pl > p., of 1 > p,dan zijn we verzekerd van stabiliteit.

Sluiten