Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

dan komen in de reeksontwikkeling sinussen en cosinussen beide voor.

Door de grootheid /< in de formule (2), welke grootheid willekeurig kan worden gekozen, onbepaald te laten toenemen , komt men tot eene ontwikkeling, die, ook bij eene niet periodieke functie, voor alle waarden van x van — oo tot 4- oc doorgaat. Brengt men namelijk de waarden der coëfficiënten b en c (3) in (2) over, dan komt er na eenige herleiding:

= i [4/_+/(S)d* +

m =oo r -(- h mi "1

+ 1 I /■(!) cos (x — I) d | . . . . (4)

m = 1 J — h lt J

Thans door « vervangende, en tot de limiet overgaande, vindt men '):

f(x) = _L / dfi I +",f(£)cosu(x — %) d£ . . (5)

Deze vorm, aldus uitgebreid, is de uitdrukking van het theorema van Fourier voor ééne veranderlijke. De reeks (2) of (4), die de Reeks van Fourier heet, is overgegaan in eene dubbele integraal: men noemt deze de Integraal van Fourier.

Het is van belang, in dezen vorm (5) de afzonderlijke goniometrische deelen of termen goed te onderscheiden. Men verkrijgt zoodanigen term door aan den factor ,«, waarmede x onder het cosinusteeken vermenigvuldigd is, eene bepaalde waarde toe te kennen: men neemt dus één element van die

') Fourier, Théorie etc. chap. IX sect. I. Zie ook Schlömilch en Riemann t. a. pi.

Sluiten