Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

Laat f(x, y) eene gegeven functie zijn, die in eene dubbele reeks ontwikkeld moet worden. Wij beginnen met de ontwikkeling te laten gelden voor -/t<a:< -f- li en -k-^yc + k, en voor geene andere waarden. Schrijven we eerst de reeks (4) in de gedaante:

f(x) 1 I + f (I) cos ni 7T (x — |) d |; . (7)

u 'v m = — cc — h 'v

de eerste term van (4-) komt dan overeen met m = O in (7). Passen we nu de reeksontwikkeling (4) op f(x, y) toe, dan vintien we vooreerst, wanneer we x als veranderlijke beschouwen:

f(x, y) = ^ ƒ_* f(JÊ, y) cos ~ (x — g)d£. (8)

Op gelijke wijze is in deze reeks voor elke bepaalde waarde van f, wanneer we y als veranderlijke beschouwen:

1 *+ = »ƒ•-{-£ V TT

/'(£. y) = 2k , „ /_ k. cos ~k ^ ~~ 7,S> d 11' ^

Brengen we dit over in (8), dan verkrijgen we voor f(x, y):

1 i» = 4-oon = +oc r + K r + lt

f(x, y) = 4/ ü f(S,v)X

T fv IV JU — "D tl — co J — h J — k

Ttl TT , tl TT . , „ , ,, „

x COS h (X — i) cos (y — ij) d % d tj . . (10)

Deze reeks geldt in het algemeen voor alle waarden van x tusschen — h en -(- li en van y tusschen — k en -f- k, en voor geene buiten deze intervallen. Is echter f{x, y) eene periodieke functie zoowel van x als van y, en is daarbij de periode met betrekking tot x, 2 li en met betrekking tot y, 2 k, dan geldt zij voor alle waarden van de beide veranderlijken.

Sluiten