Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

ï,s i, dan is de absolute waarde van > 1,

en zal de reeks wederom ilivergeeren.

Voor p = — '2 heeft men bv.:

(1 1)~2 = i/4 =1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 + ... (1 — 1)—2 = 1 '0 = oc = 1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + ... Is _l; ,Jan is de absolute waarde van '»+Vf„ <1,

zoodat de reeks kan convergeeren. Maar om dit uittemaken, zijn nadere kenmerken noodig. Evenwel zal men gemakkelijk inzien, dat bij .<■= + ! de reeks in dit geval zal convergeeren.

Immers de termen zijn dan afwisselend + en —, terwijl t„ tot 0 nadert.])

i) Dat dit laatste inderdaad het geval is voor alle waarden van p > — 1, kan men op de volgende wijze aantoonen.

Is p = — i/a> dan wordt bv. (H:

(->/*) (—1V2) (—2V2). . . _ 1 .3. 5... 15 _

1 2 3 8 2.4.<3...10

1.2. 3.4.5.6...10 1.2. 3... 16 _ 16! = 22 . 43 . 6*77."Ï6* ~~ (22)» (1* . 2* .. . 8») ~ 2»« (8!)2 ' •

wanneer liet factorenproduct, 1 . 2 . 3 ... n door n ! wordt aangeduid.

Nu is volgens de bekende formule van Stirung, welke in de Hoogere Wiskunde wordt bewezen, voor u — <x>:

ii! — n" e~" Ijtn ,

wanneer e bet onmeetbare getal 2,71828... is, dat we spoedig zullen

leeren kennen. Derhalve is voor p = —l/«:

(2n)-"e~-" V' 2.t . 2n 1

Ijiui. tn , . - — ~ , 1

2-n{n"t>~" l- 2jtn)2 V jtn

zoodat dit voor 11 =<x behoorlijk tot 0 nadert.

Is nu p niet = — V21 maar dichter bij — 1, bv. = — «"/su. Jan zal men voor tn vinden:

(-79/8o)(-179/8oX-27%o) •• •{-("-vso)! ? 1 2 3 n

zoodat we, afgezien van het teeken, voor Lim. tn kunnen schrijven :

(1 — V5Ü) (1 — 1 ïuo) 0 V240) • • •

Nu is blijkbaar:

Sluiten