Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

De leerling onderzoeke nu eens de volgende reeksen.

1. x Va x + Vs '®:i + V* x* + • • •

1 1.3 xh 1.3.5 «7

2' *+2~S + 2A 5 +2X6 7 +•'■

3. i _|_ 2.r -f- 3.b2 + 4.r3 -f 5.®* 4- .. .

4. 1 + « -f lU + ^9 'r3 + Via ^ + • • •

Onderzoek bij deze reeksen ook eens de grensgevallen,

waarbij de absolute waarde van Lim. —j— — 1 is.

'n

f. Kenmerk van de tweede orde. Wij zagen, dat in ge\al Lim ^ — 1 is, en — aan den kleinen kant tot 1 nadert,

tn ' tn

het in e) behandelde kenmerk geen beslissing geeft. In dit geval kan een nader kenmerk — een van de tweede oi de

worden aangegeven.

Bewijzen wij daartoe eerst de volgende eigenschap: ls de reeks th t2, t3, tA, enz. afdalend, dan zal deze tegelijk convergeeren ot' divergeeren met de reeks t{, 2t2, 41±, Stg, enz.

Immers, daar de eerste reeks afdalend is, zal uit tl = t], '2ti = 21.2, 44 < 2t3 -f 21+, 8t* < 2t-0 + 2tü -f 217 + 2ts, enz., enz. volgen s2 < 2.^ — th wanneer men ty + t2 t3 -f- enz. ,?j noemt, en t{ + 2t2 + 4/., + enz. dooi .v3 voorstelt. Is derhalve de eerste reeks convergent, dan ook de tweede.

Eveneens volgt uiUj = *i, '2t2~^>t2-\-t3, 4*4><4 -\-tb-\-tü-\-t-i, enz. de ongelijkheid s2 .vj. Is dus de eerste reeks divergent,

dan ook de tweede.

Omgekeerd zal men hebben 2.^ > s2 -j- h, en < s.2, waaruit volgt, dat uit de divergentie van s.2 ook die van .s-j voortvloeit, en uit de convergentie van s2 die van

Opmerking. Ook bij dit bewijs houde men in hetoog.dat het slechts noodig is, dat de termen der eerste reeks op den duur afnemen, en dat het volmaakt onverschillig is ot de eerste duizend termen daaraan al ot niet voldoen. De som dezer termen is toch altijd eindig.

Sluiten