Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

1871. No. 3.

Bereken den inhoud van een regelmatig twintigvlak, welks ribbe a is.

De zijvlakken van een regelmatig twintigvlak zijn gelijkzijdige driehoeken, welke vijf aan vijf in een hoekpunt samenkomen. Stellen wij ons voor dat (zie figuur) een plat vlak gebracht zij door de uiteinden van vijf ribben SA, SB, SC, SD en SE, welke in een hoekpunt S samenkomen. Dat vlak snijdt den om het regelmatig twintigvlak beschreven bol, wiens straal wij R noemen, volgens een

cirkel, wiens straal OA wij door p zullen voorstellen en het twintigvlak volgens een regelmatigen veelhoek ABCDE, waarvan de zijde = a is. Nu weten wij dat tusschen de zijde a van een regelmatigen vijfhoek en den straal p van den omgeschreven cirkel de betrekking bestaat:

1 I t/, 2a

a = p 10 - 2 [/ 5 of p = ,

1 | 10 - 2'1/5.

Noemen wij de hoogte SO van de vijfzijdige pyramide SABCDF. h

4 aï 3 [/ 5

dan hebben wij h = aJ — p'J = a! — —= - = ' , a'J of

10 — 21/5 5— | 5

h = a ^ 3 — p 5 yer(jer jS [, je projectie van eene ribbe a op de

5 ~l/5.

middellijn van den omgeschreven bol, zoodat men heeft: 2 Rh = a\ waaruit

R = = a \ 5 5 = A- I/ O (5 4- 1/ 5 Stellen wij den straal

2 h 2 3 — J/5 4 ^ ' ' ''

om een der zijvlakken beschreven p;, dan hebben wij a = Pi |x 3ofp, = a

^ Verder is, wanneer r den straal voorstelt van den in het regelmatig twintigvlak beschreven bol, rJ = R2 — pia = j ^ V 2 (5 -f- ( 5) j _

a- __ a3 (5 +y 5) _ a2 = Vï~±V~5 _ 1 a

3 — 8 3 f g 32

Y7 + 3 V 5.

6

De inhoud van het twintigvlak is gelijk aan het oppervlak, vermenigvuldigd met een derde van den straal vau den ingeschreven bol, dus gelijk:

iX5.-i 3x i FÏHE? = !=

5\2 ^/|4 + 6 l/ 5 =5,y'x(3 + l/ 5.)

Sluiten