Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

1900. No. 3.

De middens van drie elkander kruisende ribben van een kubus worden twee aan twee verbonden. Den driehoek, aldus gevormd, beschouwd men als grondvlak van een piramide, waarvan de top samenvalt niet een hoekpunt van den kubus, dat niet met een der drie eerstgenoemde punten op eene ribbe ligt.

Men vraagt inhoud en oppervlak van die piramide uit te drukken in de ribbe a van den kubus.

De nrdden K, L en N (zie figuur) der drie elkander kruisende ribten BC, DH en EF van den kubus AB CD EF GH zijn twee aan twee verbonden door de lijnen KH, LN en NK. Elk der punten KL en N is verbonden met het hoekpunt A van den kubus, dat niet ligt in een der ribben BC, DH en EF waarop KL en N liggen. De vraag is nu den inhoud en het oppervlak der piramide AKLN te vinden.

Verbinden wij K met D dan is in den rechthoekigen driehoek KDC : DK- = CD' + CK-. Ook is in den rechthoekigen driehoek KDL KL = |/DK2 + DL' zoodat

KL = 1/ CD' + CK' + DL' of CK = DL is KL = 1/ CD- + 2 DL'. Nu is CD = a en DL = ~ a,

dus is KL = |/a! + 2 X j a' = |/1- a' = ^ a \/J.

Gemakkelijk ziet men in dat ook LN en NK de zelfde grootte ^ a 1' 6 hebben; het groedvlak KLN der piramide AKLN is dus een gelijkzijdige driehoek welks zijde ^ a [/ 6 is.

Ook de opstaande ribben AK, AL en AN dier piramide zijn aan elkander gelijk, zoo is AK = l/AB' + BK- = j/a- + a

[/ 5, welke zelfde waarde men ook vindt voor AL en AN.

De piramide AKLN is dus eene regelmatige driezijdige piramide. Stellen wij de ribbe van haar grondvlak voor door a en de opstaande ribbe

door B zoodat a = a |/ 6 en B = ~ a 1/ 5 is.

fa z

In de figuur is de piramide ANLN afzonderlijk voorgesteld. Laten wij uit A de loodlijn AO op het grondvlak KLN nêer, dan snijdt die loodlijn het grondvlak in een punt O, dat het middelpunt is van den gelijkzijdigen driehoek KLN. De lijn KP, welke K met O vereenigt, snijdt de zijde LN van den driehoek KLN in het midden P van LN. Is nu KL = LN = NK

Sluiten