BESCHOUWINGEN OVER TREFKANS.

635

voor n oorzaken, dan is hiermede bewezen, dat deze formules toe te passen zijn bij een onbepaald aantal oorzaken van afwijking.

Wanneer OX en OY de assen zijn, volgens welke de resultanten der n oorzaken werken en wij nemen nu een (n 4- i)e oorzaak aan, waarvan de richting een hoek «n +1 maakt met de X-as, dan zullen wij de richtingen der nu te verkrijgen resultanten kunnen voorstellen door OX' en OY' en de hoek tusschen OX en OX' door f3.

Vervangen wij de n oorzaken door hunne twee resultanten, waarvan de middelbare afwijkingen zijn: A en B en wij voegen hierbij de (n + i)e oorzaak, dan vinden wij voor de resultanten van deze drie oorzaken, waarvan wij de middelbare afwijkingen Ai en Bi zullen noemen: A^ = A3cos.3,3 + B2cos.3(90 + f5)+«iUIcos-3(*n + I 4. (S) Bi3 = A3 sin.3 8 4- B3 sin.3 (90 + f3) -f «2+I sin.3 («n + I 4- f3) A3 sin. (3 cos. (3 4- B3 sin. (90 4- /3) cos. (90 4- P) +

+ a&+l sin. (<x„+1 4- f3) cos. («„ + , 4- f3) = o

Hierin de waarden voor A2 en B2 uit de vergelijkingen (a) en (b) substitueerende, verkrijgt men: Ai3 = («12 cos.2 «1 4- «22 cos.2 a3 -f- . . . . 4- rtn2 cos.2 «„) cos.2 (3 4(«!2 sin.2 ot, 4- «32 sin.2 *3 + . . . . + tfn2 sin.2 «„) sin.2 ,5 +

0n + I COS.* («„ + , + /?) (O

Bj2 = («!2 cos.2 04 4- «22 cos.2 <x3 4-. . . . 4- «n2 cos.2 «„) sin.2 f3 + (ai sin.2 «i + #32 sin.2 a3 4-. . . . 4- «n2 sin.2 an) cos.2,3 4-

*2+I sin.2 («n+ , + /?) W

(rtj2 cos.2 «i -f- «32 cos.2 «3 4- .... 4- «n2 cos.2 an) sin. fi cos. f3 — («!2 sin.2 «! 4- «32 sin.2 a3 + . . . . + «n2 sin.2 an) sin. f3 cos. (3

4- d£ + 1 sin. («„ +, + (3) cos. («n + . + jS) = O (ƒ)

Voor de laatste formule kunnen wij schrijven : 3. 2 «! sin. 2 (3 4- «22 cos. 2 a3 sin. 2 (3 + .... + «n2 cos. 2 an sin. 2 f3 4-

4- ai + I sin. 2 («„ +, + f3) Telt men hierbij op: de formule (c) vermenigvuldigd met 2 cos. 2 f3, zoo verkrijgt men: «i2 sin. 2 («, + fi) 4- «22 sin. 2 (a2 4- 5) 4-.... + tfn2 sin. 2 («n 4- f3) 4-

+ a* +I sin.2(«n + x 4-13)

Trekt men vergelijking' (c) na vermenigvuldiging met 2 sin. f3 cos. f3 van vergelijking (dj af en telt men dezelfde waarde op bij vergelijking (e), dan verkrijgt men: