Tekst
Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

Waarneming1. Zie Voorstellingen.

Waarschijnlijkheid (Probabilitas) kent men toe aan een veronderstelling, welke, ofschoon niet willekeurig verzonnen, toch niet gesteund wordt door overwegingen, welke volkomen zekerheid omtrent haar inhoud geven. De zuivere logica maakt gewoonlijk onderscheidt tusschen de onbepaalde, zuiver qualitatieve waarschijnlijkheid en de quantitatieve, welke in getallen kan worden uitgedrukt. De eerste treedt bijv. op bij alle gevolgtrekkingen door analogie. Zij houdt dan verband met het feit, dat de omvang der overeenstemming tusschen analoge voorwerpen of verschijnselen kan worden betwijfeld. Een quantitatieve waarschijnlijkheid is mogelijk, als de frequentie van een bepaald voorval iij een gegeven aantal gevallen van meet af of door ervaring bekend is.

Onder de wiskundige waarschijnlijkheid van het intreden van zeker voorval verstaat men de verhouding tusschen het aantal der voor dat voorval gunstige gevallen tot het aantal mogelijke, in de veronderstelling, dat deze alle even mogelijk zijn. Bevat bijv. een beker 7 balletjes, waaronder 2 zwarte en 6 witte, dan is, vooropgesteld dat de balletjes, afgezien van de kleur, in alle opzichten aan elkander gelijk zijn, de wiskundige waarschijnlijkheid voor

het trekken van een zwart balletje y. Een waarschijnlijkheid, die, zooals inhetgegeven voorbeeld, bepaald wordt door het tellen der gevallen, noemt men waarschijnlijkheid a priori. Zij wordt vastgesteld met behulp der methoden van de combinatieleer (zie aldaar). Men kan echter ook, uitgaande van waarnemingsmateriaal, bijv. proeven, statistieken, enz., op grond der ervaring de waarschijnlijkheid van een voorval vaststellen. Deze noemt men dan waarschijnlijkheid a posteriori. Is bijv. in n waargenomen, gelijkwaardige gevallen een zeker voorval

a-maal ingetreden, dan noemt men — de betrekkelijke frequentie. Daar het in het algemeen onmogelijk moet worden geacht om bij de bepaling van de waarschijnlijkheid a priorie zekerheid te verkrijgen, dat de mogelijkheid voor alle gevallen dezelfde is (in ons voorbeeld de volkomen overeenstemming der balletjes op de kleur na), moet aan de bepaling der waarschijnlijkheid a posteriori hetzelfde recht worden toegekend om als wetenschappelijke methode te gelden.

Waarschijnlijkheidsberekening1 is de naam van dat deel der hoogere wiskunde, dat zich bezighoudt met het berekenen der wiskundige waarschijnlijkheid (zie Waarschijnlijkheid). Het berekenen der waarschijnlijkheid a priori geschiedt als grondslag voer het kansspel (loterij enz.). In het middelpunt van deze afdeeling der waarschijnlijkheidsrekening staat het theorema van Bernoulli. Wanneer het aantal malen (m) dat een bepaald feit verricht wordt, onbepaald toeneemt, dan nadert de

waarde van de verhouding ^ waarinnaangeeft,hoeveel malen het feit, dat de waarschijnlijkheid p bezit, is voorgekomen, tot p. Trekt men dus uit een beker, waarin zich één zwart en twee witte balletjes bevinden, een balletje, legt men dit er weder in en herhaalt men dit zeer dikwijls, dan moet ten slotte blijken, dat het aantal malen, waarin een wit balletje getrokken werd bij benadering dubbel zoo

groot is als dat, waarin een zwart werd getrokken.

Het belangrijkste vraagstuk der waarschijnlijkheid a posteriori is de zoogenaamde Theorie der fouten. Gauss stelde als postulaat op: Verricht men, onder dezelfde omstandigheden, een groot aantal metingen van dezelfde grootheid, dan is de waarschijnlijkste waarde van de gemeten grootheid het rekenkundig gemiddelde van alle verkregen waarden. Op grond daarvan stelde hij een uitdrukking op voor de waarschijnlijkheid, dat deze fout in volstekte waarde kleiner is dan een gegeven grootheid. Moet nu een grootheid gemeten worden, dan verricht men meer metingen dan voor haar bepaling noodig zijn en verkrijgt daardoor meer vergelijkingen dan onbekenden. Daardoor is het echter onmogelijk om een stel waarden voor de onbekenden te vinden, dat alle vergelijkingen gelijktijdig bevredigt. Intusschen leert de Methode der kleinste kwadraten, dat nu de waarschijnlijkste waarde van een onbekende die is, waarvan de som van do kwadraten van haar verschillen met de gemeten waarden zoo klein mogelijk is. De verdere toepassingen van de waarschijnlijkheid a posteriori liggen op het gebied der statistiek. Vooral bij de levensverzekeringen speelt de waarschijnlijkheidsrekening een groote rol.

Haar grondslagen werden gelegd door Pascal en Fermat. De eerste samenhangende verhandeling gaf Bernoulli in zijn „Ars conjectandi" (1713). Het belangrijkste systematische werk is echter afkomstig van Laplace"(Théorie analytique des probabilités". 1812). De Methode der kleinste kwadraten is afkomstig van Gauss en Legendre, die haar gelijktijdig, maar onafhankelijk van elkander, formuleerden.

WaarschijnliJkheidskromme noemt men de grafische voorstelling van het verband, dat er bestaat tusschen de waarschijnlijkheid van een toevallige waarnemingsfout van gegeven grootte en haar betrekkelijke frequentie in een gegeven, maar groot aantal waarnemingen. Men kan de waarnemingsfouten verdeelen in regelmatige en toevallige. De invloed, dien de eerste op de juistheid van de waarneming zouden kunnen uitoefenen, kan vooraf worden geëlimineerd. De toevallige daarentegen hangen van afwisselende oorzaken af, of zijn, wat haar invloed op de waarneming betreft, niet op een bepaalde wijze van de omstandigheden, waaronder deze wordt verricht, afhankelijk. Zij kunnen dus niet vooraf in rekening worden gebracht. Het blijkt nu echter, dat zij gehoorzamen aan een 3-tal wetten:

Waarschijnlijksheidskromme.

1. positieve en negatieve waarnemingsfouten zijn even waarschijnlijk en komen in een groot aantal

Sluiten