Geen zoekvraag opgegeven

Tekst
Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

middelpunt van dien cirkel, dan snijdt deze lijn dien cirkelomtrek in twee punten U en T; M'U en M'T geven dan de richtingen en TH' en Uil' de halve grootten der assen aan.

^ 151. Alvorens de beschouwing over de ellips te eindigen, zullen wij nog de volgende constructiën doen kennen, welke in de Beschrijvende Meetkunde hare toepassing vinden.

1°. In een gegeven punt eener ellips eene raaklijn aan deze kromme lijn te trekken.

2°. Uit een gegeven punt buiten eene ellips eene raaklijn aan deze kromme lijn te trekken.

3°. Aan eene ellips eene raaklijn te trekken, die evenwijdig is aan eene gegevene lijn.

A". De snijpunten te bepalen van eene rechte lijn met eene ellips.

In elk dezer gevallen wordt verondersteld dat de assen der ellips in grootte en stand bekend zijn (1).

(1) De constructiën kunnen echter ook worden verricht voor het geval slechts twee aan elkander toegevoegde middellijnen van de ellips zijn gegeven. Om niet te uitvoerig te worden en tevens omdat eene goede verklaring do kennis vordert van de leer der cavalière perspectief hebben wij die constructiën achterwege gelaten. Toch willen wij nog op eene constructie der ellips wijzen, waarbij tevens de raaklijn in eenig punt gevonden wordt.

Vereenigen wij in een cirkel M (Fig. 132) de uiteinden van eene middellijn AB met een willekeurig punt P buiten dien cirkel, dan zullen de lijnen AF en BE elkander snijden in een punt S dat gelegen is op de lijn PH uit P loodrecht op AB neergelaten. (N.B. S is het snijpunt der drie hoogtelijnen van driehoek ABP). Trekken wij verder in E eene raaklijn aan den cirkel, snijdende PH fh G, zoo is G het midden van PS. De driehoeken AEB en SEP toch zijn gelijkvormig daar de zijden van den eenen loodrecht staan op die des anderen; de lijnen EM en EG, die ook loodrecht op elkander staan, zijn gelijkstandige lijnen in die driehoeken, de eerste deelt AB middendoor, de lijn EG gaat dus door het midden van PS. Verbindt men G met F zoo zal nu GF de raaklijn in F zijn , want GF = GE als straal van den cirkel om SEPF beschreven.

Projecteeren wij nu de geheele figuur op een willekeurig vlak, dan verkrijgen wij eene ellips (Fig. 134) die A'B' tot middellijn heeft, terwijl P'H' evenwijdig is aan do middelijn C'D' die toegevoegd is aan A'B'; E'G' en G'F' zijn de raaklijnen aan de ellips en G' is het midden van S'P'.

Uit dit alles blijkt nu , dat men eene ellips kan construeeren indien bekend zijn: eene middellijn A'B', de richting der toegevoegde middellijn C'D'en een punt (b.v. E'). Deze constructie is: trek eene willekeurige lijn P'H' evenwijdig aan de richting C'D', snijdende A'E' in P' en B'E' in S', trek nu A'S' en P'B', dan snijden die lijnen elkaar in F' (een punt der ellips). De lijnen, die het midden G van S P met E en 1verbinden , zijn de raaklijnen aan de ellips. Voor het bijzondere geval dat de beide toegevoegde middellijnen A'B' en C'D' in stand en grootte gegeven zijn (Fig. 133) , is deze constructie eveneens toe te passen ; C' is nu het gegeven, 1' het geconstrueei de punt, C'G' en G'F' zijn de raaklijnen in die punten, waarbij C'G'evenwijdig is aan A'B'.

Het zal wel onnoodig zijn er op te wijzen, dat men ook aldus te werk kan gaan, wanneer de assen der ellips gegeven zijn.

Sluiten