J/cToX4+:,Xr 7+J
0 _o
1 I
a a ■ a ~
Ö 'x + x' v zijn de 5 ^ laatfte *
r -cx"+ cx* c termen £
s jf van 5"
r _*x-i+£ xp ! 0 t u x +-' x^> f sr u
v Vj%T+jx* ! e v w tXJ+£X* j ë*
f /x^+'x^ir f
Als iemand van deefe wet niet volkomen mogt over» tuigd zijn, gelieve hij de moeite te neemen, om de rékening, die wij boven begonnen hebben verder voord te zetten, en al berékent hij tot duizend termen, zal hem ftandvastig dezelfde wet bliiken ftand te houden, waar door elke volgende bieuk uit de twee voorgaande be« lékent wordt.
Als men nu den régel, boven voorgefchreeven, in hej p r T
we'tk ftelt, om de waarden van q . j > -q en?. ■■ '. «
to
p d
4c6 GRONDEEG. der CIJFFERKUNST,
| « I £ I c I // I e I ƒ I g I s 1 3 I 4 ' 5 ! 6 1 7 1
o_ t__ 3_ 15 &j _5£7 _470i
I_ 1 2 8 38 222 IS2J2 11986
2 I 3 I 4 1 -5 | 6~\ \
3_ ^ 3X1+2X0. 4X3+3X7.
o * 3X2+2XÏ' 38^4X8+3X2'
J*Z - 5X15±4X1 . _597_ 1X_87+; X15 2122-5X^84-4X8 ' 15226X222+5X38 47Q» ^7X 597+6X87_ 11986 "7X1522+6X222"
§481. II. Aanmerking. Hec gebeurt veeli'1 Cen dit is het geval, dat in het gebruik der geduurige breuken het meest te pas komt ,9 dat de tellers der léden van de breuk alle één zijn. • IIL Voorbeeld. Stel dat de geduurige breuk
L i
3 tr+5
5 +1 x
tet een gewocnê moet gebragt worden?
Als dan komen in de onderfte rij der Multi. plicanten 1, 1, 1, enz. die derhalven niet verménigvuldigen en het 5e en 6- gedeelte van den régel § 4^9. veranderd in deefer voegen., „ Mul,, tipliceer teller en noemer van elke breuk door
het getal boven dezelve ftaande en telt bij de
pre*
II.Boek. II.H. XVIII.Les'.Over de Breuken, 407
,, produblen, de teller en noemer van de voor„ gaande breuk, deefe [ommen zij'i de teller en „ noemer van de volgende breuk. " Geen der komende breuken zijn verklembaar.
Berékenins.
I «/ I l |2 I 7 30I iy: 972 j 6061 I ,6660 I I II 13 I IO 43 i 225 198-? I 9y7ó 1 8120I_
dit is de bewerking.
2 _ 2X1+0 7 _ sXafr,
3" ~ 2X1+1' 10 T 3X3+1'
30 4X 7+2
— " ~w - enz,
43 4X10+3
De leefer zal zich zeiven voorbeelden genoeg kunnen opgeeven, om deefen régel verder te beoeffenen.
C. Om een gewoone breuk m eene geduurige te brengen.
§. 482. Elke gewoone breuk kan tot een "gecuarige herleid worden, en wel op onderfcheidene wijfen.
Voorbeelden. Als men teller en noemer van
7 "1
de breuk T75 door 2 deelt, komt ~ ~^(§47i.) Teller en noemer van de breuk door 3 dee-
« 2-7
•nde , komt « 3 A Teller en noemer van 5 15
Dd4 r|,
10 GB-ONDBEG. der CIJFFERKUNST.
door 3 deelende is, 2- ~ J?. enz, 4» 13
S 483» Wen kan door veelerJei verfchikklnsèö elke gewoone breuk in een geduurige breuk van zo veel termen verdeelen als men goed vindt Dan wij gaan dit hier ïlüzwygend voorhij, en verkiaarcn alleen , hoe een gewoone breuk in een geduu. nge breuk van de derde gedaante ( zie « 4.66 ) kan veranderd wprden. Wij verkiefen dit geval a een te befchouwen om dat wij 'er naderhand •alleen gebruik van zullen maaken en alle overiee gevallen uit de yerklaaiing van dat eene teval zallen verltasn worden. fc
§ 484. Laat ons tot een voorbeeld ftellen de breuk als men teller en noemer door ic7 deelt, wordt X^T^ «47^ Van de breuk $ teller en noemer door 37 dee-
lende, wordt de breuk — ~ „-• t:' 107 T 2 + 3_J?
107 1 . 37
en dus j~ 3 J +L . Teller en Noemer.
Van ff door 33 deelende, komt ?i — -
„_ •— I 4.
144 1 +2-fi ;
' 37
ein*
412 GRONDBEG. der CIJFFERKTJNST.
«ek 3 ££§££££ zo dat de bewerking nu alleen op de bijgevoegde breuk moet ingericht worden.
Na de gefielde breuk ontlédigd te hebben, welke bewerking wij om plaats te winnen aan den leefer overlaaten, vindt men
314159^535 ~ 10000000000 -~
3 + L 7 +1 15+i
8
voor den omtrek des cirkels in een geduurige breuk uitgedrukt.
D. Hoe groote breuken , die tot de verkleining ter toetfe gebragt, niet ver kit'inbaar tevon. den worden, in breuken van kleiner ge. tallen, zo na mogelijk is kunnen uitgedrukt worden. Qa)
S 488. Als men een gewoone breuk tot een geduurige ontledigt, en op de termen let, waar
uit
fd) Metius is de eerfte geweest, die deefe ftof behandeld heeft in zijne Qpera Mat htm. pag 50 en 51, maar- op eene onzékexe en langdraadigs manier. Wal<
IL Boek \1L H XVUL Les. Over ie [Breuken. 413
uic de geduurige breuk beftaat , zal men 'er het volgende in befpeuren; (maar om duidelijker te fpreeken, zullen wij deefe breuk
144 *+T «
+> +x
ftellen ) Als men alleen de eerfte term \ van de geduurige breuk tégen de geheele breuk )% verge lijkr, zal zij altoos grooter dan dezelve zijn ,• want bij de
noemer 1 moet nog de waarde van —< enz»
2 4-1 1 +
gefteld worden , die de noemer grooter en dus de breuk kleiner maakt. Vooids als men de waarde
van twee termen ^- x E | tégen de waarde^van I 4- —
2
de geheele breuk % vergelijkt, zal \ kleiner dan \°\ zijn; want door "de noemer van de eerfte term 144 te ftellen, maakt men dezelve te groot aangezien l grooter is ..dan de waarde van ~
enzi
lis in zijne Algéb. C. 10 & n foi 36—55- »P een meer zékere, maar niet min lastige wijs. S t r u i k in ziine Uitrekening der Kansfen Amjteld. 1716 en de Heer Ott o R eitz in het I Deel van de HolUndfiheMaatfckappij der tVetenfckappen hebben dit (lak tot de uiterfte t olkoinenheid gebragt, Maar de Gr 00 te E om heelt in zijne lutrtd. ad Analystn Infimt. r.1 Lip AViil tas. 319—20 de geduurige breuken het eerst tot deefe benadering dienstbaar gemaakt, en deefen grooten man heb ik in dit ftuk nagevolgd.
414 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
enz. blijkens het voorgezegde — en als men op die wijfe voordgaat, met de termen van de geduurige breuk te vergelijken, zal men bevinden.
dat grooter is dan ^3Z- JZ te veel
1 144 144
■r 1 ~ kleiner dan — - , -—- te.
2 +- 3 144 144 weinig
2
ï 3 107 I
T- . 1 — ^ grooter dan —- , ■— te » + - ,1 4 & 144 144 veel
2 4-j.
en — 3 — kleiner dan -2Z
ï 4-1 39 144
9
^ Ï872 t£ Wein,'S°
§ 489. Uit het gezegde blijkt duidelijk genoeg, dat als men een gewoone breuk eerst in een" geduurige ontlédigt, en daar na wederom volgends § 4S1. bij benadering tot een gewoone overbrengt, vcor eerst elke breuk die men verkrijgt , nader san de waarde der geftelde breuk komt, en ten anderen, dat de breuken , die men in rang ver. krijgt, beurtelings grooter en kleiner zijn, dan de eigenlijke waarde der voorgemelde breuk,
§ 490. Deefe eigenfchap der gedanrige breuken ftelt ens nu in ftaat, om op een zeer handige manier een breuk die niet verkleinbaar is, zo naauw-
keu-
II. Boek I. H XVIII. Les. Over'de Breuken 415
keurig als men goed vindt, in een break ven kleiner getallen te fchrijveir
ï, Voorbeeld. De breuk ^ die niet yerkleinbaar is, zo na mogelijk in een breuk van kleiner getallen uittedrukkenï
Eerst moet men de breuk iffj volgends den regel § 48a. tot een geduurige breuk "brengen — dan vindt men:
8507
12356 —1 1
—1 — . 1
i +- j_t
2 t — , i
1 + "" + Lxi
1 -j- 1
2 +L
2
De geduurige breuk , die wij bier gevonden heb» ben, brengt men de termen van voor af berékcnende (Zie § 479) tot een gewoone breuk.
19 4 t 3 i J2 i i 2
~ o I 1 "1-2 ~ 1 9 I 1 r I 42 I 53 I 678 I J2I f '-12?. enz 1 I I J 1 13 I ^ I öi I ?7 I &S5 I ïoó2 I 2°*7 ï s s s iï ï f» 01 ° =
g < 3 < ^ < 3 < ^ 2 '
I' a, I- 3 |. a* a g- S.
irë" tra' r5' o5'
24 hec kleinfte gemeene veelvoud van 3, 4, 6 en 8
Als men het kleinfte gemeene veelvoud 24. gevonden heeft, onderfteld men, dat het geheel in 24 deelen1 gedeeld is.
10 JNu vraagt men in de breuk f; wat is \ van 24 vierëntwintigfte deelen? komt 8 vierëntwintigfte deelen. — dus \ — 2 maal 8; dat is 16 vierëntwintigfte deelen; dus \ -±§f.
2® Wat is i van 24 vierëntwintigfte? komt 6 vierëntwintigfte, dus f is =-3 maal 6, dat is 18 vierëntwintigfte: dus | =|*,
30 Wat is l van vierëntwintigfte? komt 4 vierëntwintigfte, en l is—5 maal 4 of 20 vierëntwintigfte dat is; £=f|, 6
40 Wat is i van 24 vierëntwintigfte ? komt 9 vierëntwintigfte; dus \ = 7 maal 3; dat is 2j vierëntwintigfte , en dus | =?4J.
Door deefe rékenig hebben wij in plaats van de geftelde breuken f, |, | en J verkreegen, deefe
die aan den eisch der vraag voldoen.
§ 507. Als men dus eenige breuken gelijknaamig zal maaken, moet men volgen deefen
ILBoefa II. H.XIX. Les, Over de Breuken. 433
Algemeenen RécEi,. i« Moet men het „ kleinfte gemeene veelvoud van alle de noemers ,, der gegeevene breuken bepaalen. Zie § 443.
20 Dan deelt men het geheel in zo veel dee„ len als het getal van het kleinfte gsmecne veel. ,, voud bedraagt" (dit is degeneraale noemer, tri ,, v/elke alle de gegeevene breuken moeten uitgedrukt ,, worden*).
30 ,, Nu berékent men voor elke breuk, de „ waarde van zulk deel, als door den noemer van die „ breuk 'wordt aangéweefèn, in deelen door het „ gemeene veelvoud bepaald, — en dis verkrijgt
men altijd als men de generaale noemer door
de noemer van de breuk deelt."
40 De waarde van dit deel in deelen van den „ generaalen noemer berékend zijnde« moet het „ nog met den teller verménigvuldigd worden, „ om te vinden het getal deelen van den generaalen
noemer, die gelijk zijn met de waarde der ge-, j, geevene breuk"
5" „ Elk een der andere breuken moet men op ,, gelijke wijfe beiverken en dan heeft men aan, „ den eisch van de vraag voldaan"
§ 508. Deefe régel is op de uitwerking van de volgende voorbeelden toegepast.
I Voorgeeld. De breuken i*j h en $ tot dezelfde benaaming te brengen ?
Ff i«
434 GRONDBEG. der CïJFFERKUNST.
i° Lid der bewerking.
7» "»13 gem- deel- 7 . —— fcu
it* tt 71 it, H ——~Ci3
t4tt i% icoi hec kleinfte ge¬
meene veelvoud van ^7, 9: en 143 , aanwij'ende in hoe veel deelen hec geheel gedeeld moec worden.
2° Lid der bewerking.
a) looi deelen in het geheel in 77)
komt 13 deelen voor ' deel. dit mee 13 ver menig v.
komt 169 deelen voor ». 77 iooï 13x77
b) 1001 deelen in het geheel
in 90
komt 11 deelen voor £ deel. dit met 12 verménigv.
komt I j i deelen voor ~
12^ I3<: 12x1 i
dus — — — w . oi 10^,1 91x11
O
II. Boek. m II XIX. Les. Over de ^reuken. 435-
O 1001 deelen in he; geheel
in 143
komt 7 deelen voor rJ deel dit niet 20 verméniv.
komt 140 deelen voor ~'
derhalven —~~ Ji^l^r._i£?
!43 143x7 ioor
II. Voorbeeld, Om de breuken J,, it, itj>
FsjsMI m gelijke benaamingen ts brengen?
ï Lid der bewerking..
2» 2> 3' 3» > 7» n» i3g'-™
3f0. tl, i 17 s>0, it, tt, ' 5
44, tt 85
it, n -—(2 tt , 170 17) • (2
tïé , ii, i 340
m, u, tt —1—-(9=3X3
t5) 3060
(S
15300^
107100
I178100
" -~ 03
J5 315305 net kleinfte gemeene veelvoud van de noemers der "gegeevene breuken, in welk getal van deelen het geheel nïoet gedeeld worden. F f 2j 2»
43Ó* GF.9NDBEG. der CIJFERKUNST;
a° Lia aer bewerking,
a) 153l5'ó°° deelen in het geheel in 36) *
kdmc 425425 beelen in ,5 deel dit met 7 verménigvuldigd
komt 2977975 deelen voor £ dus s97?975^ 7x425425 3ö""i53i53°o~ 36x425425
b) I53T5300 deelen in het geheel in 99)
komt 154700 deelen in £ deel dit met 10 vermenigvuldigd.
komt i547Q©o deelen voor ~ deelen. us IO— I0X1547o°— 1547000 99"" 99x154700 15315300
c) 15315300 deelen ia het geheel in 44) ■
komt 348075 voor ?) deel dit met 17
komt 5917275 deelen vcor 17 deelen 17 _t-X34Sc"5_ _59J727J derhalv ^-4^4^-153,^00
d) 15 315300 deeler in het geheel
in 9 O x
komt ,68300 deelen voor fï deel dit met 23 verménigv.
komt 3870900 deelen voor
der.
II.Boek. II.H. XIX.Les.Over de Breuken. 437
derh, ai r23X 168300^ 3870900 ' 91 ""91x168300*^ 15315^00
e) ( I53I53°° deelen in hec geheel
in 143)
107100 deelen voor r4| deel. met 72 vermenigvuldigd
komt 18421200 deelen voor deel derh I?2 *~172X107IO°—. 18421200 '. 143 ~i43Xl°7ioo~ 1531530°
O 153'5300 deelen in het geheel
in 85)
komt 180180 deelen in s| deel dit met ïi verménigv.
komt 1981980 deelen voor Jj deelen derh 11 — 11x1 ^°2fp_ 1981980 85^ 85x180180^ 153I5300
g) T53I5300 deelen in het geheel
in 105)
komt 145860 deelen in deel dit met 17 verménigv.
komt 2479620 1 derh. I7r-i i7XI4586o^ 2479620 105" I05XI45860" 153l53°°
F f3 *0
4s3 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
h) 153153co deelen in hec geheel in 130) —
komt 117810 voor t,\ deel
dit met 93 verménigv.
komt 10956330 deelen voor & deelen. derh, .93a 93* 16956230' 130 130x117800""15315300
O 1531530° deelen in het geheel
in ieo)
komt 153 r53 deelen voor es deelen van die met 17 verménigv. (het geheel
komt 2603601 deelen voor es deelen derh. JZ~ jfogot 100 100x153153 i$3i5£oo
S 5C9 Na deefe uitvoerige verklaaring en op. hcldering van den régel, ftellen wij de volgende tot oeffening van de voorgefchreevene werkmanier. Maar wij moeten den leefer hier berichten, dat in de andwoorden, cm plaats te winnen, maar eene breuk of den generaalen noemer der breuken gefteld is, uit deefe ééne breuk vertrouwen wij, zal de leefer genoeg in ftast?ijn, om -zékerheid van zijne bewerking te hebben.
Voorbeelden om onder dezelfde benaaming te brengen.
ig Gegeeven i. j|» ï£? Andw, % enz. 80
generaale noemer*
2?
7/. 5wA II. H> XIX. Les. Over de Ereuken 439 7^0 gen. noemer.
3° Gffg^» -S n* 5 ca rï?
Andw. 3465 g 6-7 en iT6?
Andw. 226780 g««er. noemer.
lo° G ?-> +T 'r5> '2. -i, 2, .3, 4 en lt
24 lö 12 3 4 6 2
Andw. 576 ófe ge», noemer. Ff4 13°
440 GRONDBEG. der 'CJJFFERKUNST.
Geeecven —^> ,12, d1 -21, 2£2, »",
U\ % i9 '°03!r 385 ' SS° 1365 231 ^
-1 105' 3Ö Ts ? Andw. 30030 ge», noem.
Als de leerling door de uitwerking van1 deele uitgezochte voorbeelden, zich deelen werkré> gel behoorlijk eigen gemaakt heeft, zal hij tot de Additie en Subtractie der breuken kunnen overgaan, welker beichouwing het onderwerp der volgende Les zal zijn.
XX Les, Over de Additie en Subtratlie der Breuken.
§ 510.
"■""V woorden Additie en Subtra&ie behouden JLJr tier dezelve betékenis, die wij in de II en III. Les § 36 en § 49 aan dezelve gegeevea hebben: het eerfte betékent de fom van eenide breuken |, f/, f en het tweede het verfchil van twee breuken te vinden.
A Fan de Additie der Breuken.
§ 511. In de de Additie der breuken komen ïwee hoofdgevallen voor; voor eerst de.Additie deizuivere Breuken; 2? die der gemengde getallen.
§ $12
II. Boek. II. H. XX. Les. Add. der Breuken. 441
$ 512. Het eerfte geval onderfcheidt zich in twee omilandigheden; want de breuken die men optelt, kunnen l° gelijke 20 ongelijke benaaniing hebben.
I Als de breuken gelijke benaaming hebben.
§ 513. Als de breuken gelijke benaaming of den zelfden noemer hebben volgt men deefen
Ré gel „ lelt de Tellers der breuken bij eL „ kander, fchrijft onder üeefe fom de generaals „ noemer — Dan is de begeerde fom der breuken 53 gevonden?
Voorbeelden-j 4- -fi 3-f-4^ -fa i-f
Zie régel § 461.
^iJ + ^ + ii-sjll-t^ilL1 1^.
ïöT 1ÓT ió — lö —iö — 1 4
De réden van deefe bewerking is zoo klaar, dat het niet nodig is , dezelve nader te bewijfen.
§ 514. Dit werk is men op de Sch ooien ge wsön in deefe orde te fchikken^
16 3
-9 9
ü 11
16
s~ 'S63 r-j der°m-
F f 5 fchrij.
II.B.ILH. XXL L. Ov. de Muhipl. der Breuken.^ l
Voorbeeld. 3796 met % te verménigvuldigen ?
ï. II.
3796 3796
30 . 1898 30 .1898
15 . 949 10 . 632!
2 . i*6,| 5 • 316}
— 2 . 126,-f
Produél 2973- -■
Produel 2973^
' nr.
3796
20 . 1265^ 15 • 949 12 ' 7S9*
Produel 29734.
Meer Voorbeelden. 10 1796 xM. = 1234120 1982.' x 4 - 278'^. 3° 3761 x | = 31311. 4° 837 H x & = 39o673. 5° 1376! Xg = 487Ü6° 1236! x H = 47411. 7° 8968^ x g = 317^. 8° 1296:; x g = 39o$i
§ 544. De leerwijfe, die wij in de voorgaande H h 4 $
4?i GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
$ oogegeeven hebben, kan alleen plaats hebben als de noemers der vermenigvuldigende breuken, deelbaare getallen zijn, en zulks geen plaats heb • bende, moet men of naar den algemeenen régel § 534 of naar $ 540 werken: — of men kan de teller van de verménigvuldigende breuk zo als pag. 239 § 599. geleerd is, in zamenhangende factors, ontlédigen: dat is als nlen 176 met ff moet verménigvuldigen, berékent men eerst hoe groot ^ van 176 zij? daarna ondédigt men 37 in de zamenhangende faclors 1,6,5 (zijnde 37 t=f I + ixö+ixóxj; en telt van 176, 6 maal sa en 5 maaló' maal ^ van 176 te zamen, deefe fom geeft 1221~ voor het produel:.
d. Als een gemengd getal met een gemengd getal tnoet verménigvuldigd worden.
§ 545. Elk gemengd getal j\ kan aangemerkt worden als befiaande uit twee léden: eerst uit het heel getal 7 en dan nog uit de daar bijgevoegde breuk |. Nu heb «ik § 540 reeds gezegd, dat als een gemengd getal met een heel verménigvuldigd wordt, het produét door twee bewerkingen gevonden wordt; namenlijk door eersc het heel met den verménigvuldiger en daar de bijgevoegde breuk te multipliceeren en deefe producten op te tellen, dus zal iiïXJ7~ 1IX1744X17, Zo men derhalven in het geval komt, dat de verménigvuldiger een gemengd getal 'is, dat uit twee léden beltaat, zo als 117I met Hf moet gemultipliceerd worden, is iiï w 11 + i ep
i° 117IX n = 117x114-5x11
en
ILB.ILH.XXLL. Ov. deMuhipl. der Breuken.®3
en 2° nyixl s ii7Xl+]x6
zo dat i^xiifs U7Xin-jxii + ii7x!+
5x|
In hec gemeen als een tweeledige grootheid A+B met een tweelédige C+D moet gemultipliceerd worden is
i° (A+B)XC=3 AXC+BXC 20 fA + B) XD =3 AX D + BXD en 30 (A+B) X(C+D) =? AXC+BXC +AXD+BXD)
§ 546. Hec produel: van twee gemengde getallen zal dan zijn de fom van de volgende producten.
10 Het produel: van de heelen.
2 o -£De Producten van elk heel mee de breuk en 3 ivan het andere gemengd getal
4° Het produel: van de breuken.
Zo dat 117I met nf zullende vermenigvuldigen, aldus kan bewerkt worden.
117X11=! 1287 117X | =3 971
i X I » f
(opgeteld
komt H7|xiif S13931 het begeerde product.'
§ 547. Als men dit beginfel veréénigd met het H h 5 geen
474 GRONDBEG. der CIJFFERKUN ST.
geen in de voorgaande § § geleerd is, zal men veitaan kunnen de kunstbewerking die meest in alle rekenboeken over de multiplicatie der gemengde grootheden te vinden zijn.
Voorbeelden.
3°4'l 3456?
36 1824 3 10368
— 912 — 82944.
8 . 18 1 . 81
4 . 9 1 . 8r
z ' 4J 6*3- 1728! •
1 • 24 l2 . 1152=
~. 69% —
■ product' 84285a!
produêi 1103 81'
3° _
4°5
3oo!|
iïooo
5 • 13& 3.
produft 12087!
Verklaar ing. In het eerste voorbeeld, heeft men eerst 304 met 36 verménigvuldigd, toen £ van
3S
II. E.II. H. XXI. L. Ov.de Multipl. derBreuken®*,
q6 berekenden dat naar § 542, door ;| in 8,4, 2 en 1 te verdeelen. — eindelijk nog^ van ^04!; die deefe uitkomlten beeft men te zansen opgeteld. Dit weinige zal den leefer genoeg zijn,
om de bewerking van de twee volgende voorbeelden te verftaan.
§ 548. Meest alle foortgelijke bewerkingen draagen den naam van korte rekeningen, dan of zij dien naam in de daad verdienen, hat ik tot beflis. fing aan een ander over: het zij verre van mij, dat ik dezelve wil verworpen hebben, zij kunnen in tegendeel van zeer veel nut zijn, al ware het Hechts, dat men door de oeffening van dergelijke kunstgreepen overvloedige gelegenheid heeft, om de hoedanigheden der getallen te leeren kennen, dat toch het ecnigfle en zékerfte middel is, om zich in ftaat te ftelien, bij voorkomende gevallen te oordeelen, vat de kort fte weg tot de berékening zij.
VI, Bijvoegfel tot de Multiplicatie deiBreuken.
§ 549. Hoe zamengeflelde grootheden met heele getallen verménigvuldigd worden, is met alle voorkomende omftandigheden in de XIV Les verklaard. Eer wij nu van deefe Les afgaan, moeten wij nog in het kort leeren, hoe eene zamengeflelde grootheid met een gebroken of met een gemengd getal verménigvuldigd kan werden.
I Voorbeeld. Om 2,72 Guld: 12 ftuiv. 10
pen.
476 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
pen: met Trs te verménigvuldigen, dat is J6yan 372 Guld. 1» ftuiv. en 10 penn. te bepaalen:
I. Oplossing, Naar den gemeenen régel § 534. vermenigvuldigt men de gegeevene grootheid met 7 (de teller van de verménigvuldigende Breuk) naar den régel pag. 233. § 294. en deelt het komende product in den noemer der Breuk ,^zo als pag. 260. % 330. XV Les geleerd is.
gegeeven 372 guld: 12 ftuiv: 10 penn. verménigv: met 7
komt 2608 guld: 8 ftuiv: 6 penn. t=s 7 maal het gefielde.
in 16 ——— .
163 guld: o ftuiv: 8, penn. t=t i5 van het gefielde.
II. Oplossing, Anders berekent men eerst, hoe groot 4 deel van de gefielde grootheid 372 Gl: 12 ftuiv. ro penn. zij? — door gemelde grootheid in 16 te deelen, dit gevondene zestiende deel verménigvuldigt met 7, komt het gevraagde, als boven,
gegeeven 372 Guld: 12 ftuiv: 10 penn.
'in 16) .
23 Guld: 5 ftuiv: 12 f penn, p=!
rs van hec gegeevene.
dit vermén. met 7.
komt 163 Guld: o ftuiv: 8^ penn: s ^ van het gegeevene. zd als boven.
III
II.B. II. H. XXL L.Ov. deMultipl.derBreuken ® 7
III. Oplossing of men werkt als in § 543, de hreuk r75 in afhanglijke deelen verdeelende, zo als uit deefe onderftaande bewerking te zien is.
gegeeven 372 Gl: 12 ft: 10 penn.
4 93 Gl: 3 ft: 2j penn. 2 46 Gl: nft: gi penn. 1 23 GI: 5 ft: ia| penn.
komt 163 GI: o ft: Ö§ penn. (2
,1 Van het gefielde als boven.
II Voorbeeld. Om te vinden koe veel 17 maal 172 Goud-gl. 23 ftuiv: n penn. bedraagt9'
Eerst verménigvuldigt men de zamengeflelde grootheid met 17 en dan berekent men, hoe veel \\ van dezelve, bedraagt, (als in het voorgaande voorbeeld) het welk bij het gevondene produel: van 17 gefteld, de komende fom het gevraagde produel: maakt.
Berékening. 172 Goud-gl. 23 ft. Ti penü.
met 17 \\
_J5 2938 Goud-gl. 10 ft. 11 penn,
5-57 : 17 : 3' 3-34 : 15 : 15 3-34 : 15 J5
3°&5 *• 3 : 12 J het product»
§ 550. Om deefe rekeningen te oeffenen zijn de volgende voorbeelden opgegeeven,
tl
478 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
i* Te verménigvuldigen 37 Guld: 17 ft: 12 penn,
met 8r*? komt 318 Guld: 17 ftuiv. \i \ penn. 20 Verménigvuidig36Zeeuwen 17 ftuiv: \%penn,
met 17 Andw: 652 Zeeuw 42 ft. \sspenn. 3* Verménigvuidig 17 Laft 11 1 \ Schépel
Amfteld. met 176^?' Andw. 3070 Lasten
22 mudd. 21| Schépel. 4 9 Verménigvuidig 132 jw? ri 7?
i Andw. 205 voet 8 6' . linie. <° Als een pond kost 1 Gulden 11 ftuiv: 12 penn: hoe veel dan 17§ ponden? Andw. 27 G«/<&«
19 /7«fV. 9^ />«7«.
e?» once kost 8 Gulden n r-5 ftuivers hoe veel dan 39 j)o»^ n|3 oneen? Andw. 5446 Gulden '14 ^ ftuiy.
V Deefe voorbeelden zullen genoeg zijn, wjj ftap. pen 'er dus van af: ce meer, daar zulks in den régel van driën opzetlijk zal behandeld worden.
XXII. Les. Over de Divifie der Breuken, 5 551.
T_T et woord divideeren blijft ook hier de betéJLi kenis, in het eerfte Boek aan hetzelve gegeeven, behouden: het zal dan hier zeggen te be. paaien hoe ménigmaal eene breuk \ op de andere I begreepen is, en &? hoe een gefielde breuk ,| in een gegeeven getal deelen kan verdeeld worden.
A.
II.B.ILH. XXII L.Ov.de'DivifiederBreuken,^9
A. De verhouding van twee breuken te vinden.
§ 552. Men heeft te vooren altijd ftilzwijgend onderfteld, dat de verhouding van een minder getal op een meerder alleen kan gevonden worden, en alle opgegeevene voorbeelden en régels zijn naar die onderftelling ingericht. Het is évenwei met de zaak geheel anders gelegen: men kan vraagen hoe veel maal zal 1» op 6 begreepen zijn ? —het andwoord zal zijn \ maal. — dat is met andere woorden 12 tot een geheel gefteld zijnde, zal 6 een half van dit geheel zijn. Vergelijk § 123 en
124. pag: 112. in de noot en § 161—163. ■
zo dat ten opzichte van alle getallen heelen of gebrokens een kleiner op een grooter meer dan één, een gelijk op een gelijk getal even één en een grooter op een kleiner minder dan één maal begreepen is.
I. Befchrijving van de afzonderlijke gevallen.
§ 553' Laaten wij, om uit de natuur der zaak een algemeenen régel af te leiden eenige gevallen afzonderlijk befchouwen.
I. Voorbeeld. Om te vinden, hoe ménig, maal - op 7 begreepen is?
Oplosfing. f is op het geheel 5 maal begreepen. dus op 7 heelen 7 maal 5 maal, dat is 35 maal. derhalven \ gaat in 7 heelen 35 maal
§ 554. Als men dus vinden moet, hoe veel maal een breuk, waarvan een de teller een 1 is op een
heel
480 GRONDBEG. der CIJFFEKRUNST.
heel getal begreepen zij, „ moet men het heel ge. tal met de noemer van de breuk verménigvuldigen,
\ Is op ó, 6 maal 4, dat is 24 maal begreepen.
I is op 9, 9 maal 5, dat is 45 maal begreepen. | is op 10, 10 maal 7, dat is 70 maal begree-
pen.
II Voorbeeld. Om te vinden hoe ménigmaal de breuk \ in 15 begreepen is, redeneer jk op deefè wijs.
| is zo veel als 3 maal * hu is | in 15, 15 maal 4 dat is 60 maal begreepen.
Zie voorgaande régel, dus zal \ in 15 zo veel maal begreepen zijn als 3' in 60 begreepen is; dat is 20 maal. Wij kunnen deefen régel vastnetten.
§ 555. Als een heel getal, door een Breuk gedeeld wordt, „ zal men het quotiënt verkrijgen; „ door het heel getal met de noemer te vermé' „ nigvuldigen en het produCt met den teller van „ de breuk te deelen.
Voorbeelden. 4 gedeeld door - is 4 x ^ *JjL ~ 6
3 "~ 2
i is m 19 begreepen -j~ t= — ö 215 maal.
< • • t 16x35
ii is m 35 begreepen "~rf~a 112 maal.
III.
IIB.ILH.XX1JLL. Ov. dcHerl. tot and. Noem.soi De leefer beoeffene deefe volgende voorbeelden
i° | Guld. m 13 ftuiv. $\ penn.
30 jf Pond-VL w 2 /èAf//. 8 groof.
30 \ Last « 23 2! fchépel Amfteld.
40 | Ducaat ss 4 1 1 o ■
50 ïi Afor& ^ 6 e»c Dat te vinden was.
Meer Voorbeelden. i° Hoe veel. is i van 117'? Andw. 2915
K k 3 af
g02 GRONDBEG.Wder CIJFFERKUNST.
6° Als het geheel «a 119Ï, hoe veel is \? Andw. 471
3° Als het geheel is~ 1096, hoe veel is =|?
Andw. 1(58,1 4° ^ fo* geheel «a 167^, veel is \?
Andw. icoj 5° Als het geheelis^i*j6\, hoe veel is T\t
Andw. 32rrr 6° ^/y geheel is=i 300! , #o*r.,.zulke vraaSen moeten, gelijk elk ziet door de iJivide in het gemeen beandwoord worden zo zal dewijl 31 0p 14 viermaal begreepen is 31'een Vierde van |4 zijn. Doch meer eigenaartig beanawoordt men zulke vraagen door de leer der ge. duurige breuken: men ftelt namelijk uit de getallen een geduurige breuk op, die men daarna tot een gewoone herleidt volgends den régel, zo als hier ffl het boven opgegeeveu voorbeeld te zien is,
-3i~a*3 + i_. 7_ _ , 3 4 2x14 ""2X14 K ?
Voor.'
II.B. II. H. XXIII. L.Ov deHerl. tot and.Noem ^
Voorbeelden tor oeffenitig.
1° Wat deel is 4*^ van 77? Andw. f.
2° Wat deel is 365 van 65^? Andw. |.
30 Wat deel is 169^ van 226 rj Andw. |.
40 Wat deel is 71 \ van 160? Andw. f.
50 Wat deel is g8 {J van joo? Andw: [?.
6° Wat deel is 159 ytffl 30031? Andw: rf.
Kk 5 IÏI. HOOFD.
5p6 GRONDBEG. de* CIJFFERKÜNST.
UI. HOOFDDEEL,
Over de Decimaale Breuken,
XXIV. Les, Over den aart en de natuur der Decimaal breuken en derzelver berékeningen.
§ 587.
Het wordt rijd dat wij van de Decimaal breuken beginnen te fpreeken: wij zullen in derzelver behandeling korter zijn, daar wij met meer vollédigheid alle de gronden reeds hebben afgehandeld, die dienen moeten, om dit onderwerp en ook het geen in dit werk nog volgen zal, behoorlijk te verftaan.
I. Wat Decimaale breuken zijn.
§ 588. Decimaale of Tiendeelige Breuken, ïijn zulke breuken, die een der termen van de grondreeks van ons tal - ftellèl tot noemers hebben.
§ 589. De grondreeks van ons talftelfel beftaat in deefe getallen i, 10, ïoo, 1000, loooc,
jooooq,
ÏI.B.HI.H.XXIF.L.OvJe Decimaale £reuken.$oj
ioocoo, iocoooo enz. dus zijn deefe onder» ftaande breuken DedmaaJen.
J, J7%> 2137, _39, 17963289
10 100 1000 10000 1000 icoooo
dus de gewoone breuken ~ enz, behooren toe dac foort van breuken niet.
II. Hoofd eigenfchap der Decimaale Breuken.
§ 590. Elke Decimaale breuk kan gemaklijk in eenige andere decimaale breuken ontlédigd worden, welke met elkander genomen de ontlédigde breuk wéder voordbrengen: gelijk in de volgen* de voorbeelden te zien is,
J5ai?j._5-Jj. _5. ïoo'-' 100 100" 10 100
1000' ' 1000 1000 ïooo""* 10 100 iooo*
10000 i0o00 10000 10000 10000*"" 10 100 1000
ïoooo
3795^ t 30000 . _7P^° j_ 900 1. 50 • 6
iooooo™" 100000 iooooo iooooo 100000 100000
-3 + _7 + _9 + 5 + \
10 ' 100 1000 10000 10000
§ 591 Volmaakt op dezelfde wijfè, kunnen allé andere decimaale breuken ontlédigd wordt. Deefe ontlédiging fchikt zich altoos naar de cijffers die ia den teller der decimaale breuk te vinden zijn; want elke decimaale breuk kan in zoo veele andere decimaale ontlédigd worden, als'er cijffers in den
tel*
5o8 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
teller gevonden worden, terwijl de noemer van elke volgende breuk (indien 'er zich geen ooco in den teller bevinden) tienmaal grooter is dan die der voorgaande.
III. Beeft eigenfchap legt den grond tot de bijzondere fchrijfwijze der Decimaale breuken.
§ 592 Deefe eigenfchao der decimaale breuken, welke bij de eerfte beichouwing in het oog ' .fe d„en grondfiag tot eene bijzonder» ichnjfwijfe deefer breuken; welke in het gebruik gefchikter en in de berékening gemaklijker°is; nameiijk als de decimaale breuk een eigenlijke is fchrijft men voor de plaats der heelen een o een comma of eenvouwig een ftip, het wélk ik voordaan het decimaal-punt zal noemen. Agter dit decimaal punt ter rechrehand, fchrijft men eerst de tiende deelen , vervolgends de honderfte deelen dan de duizenfte deelen, enz. tot dat alle de decimaale deelen, waar inde breuk ontlédigd wordt, agter elkander opgetékend zijn, wanneer alles als een heel getal ftaat, en de noemers van elk decimaal deel zijn weggelaaten.
Op deefe wijs wordt r| aldus gefchreeven o <• om ïsI te fchrijven, zet men agter het decimaalpunt een o, om dat de tiende deelen ontbreeken en ag-er deefe o de 5 honderite deelen, aldus 0,0.5: dQ breuken ras% rE5x, en ^ wor. den aldus gelqhreeven. 0,003; 0,0007; 0,00000 0,000003.
Voords
5«o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST,
Berékening, 29/" door 60 deelende, om tot fe.
cunden te maaken, komt 29w sa o" 48333333 enz. dus is iï" *9<» a 1»",48333^33 enzdit door 60 deelende, om tot minuuten te maaken, is u" 29'"= o', 9 388889 enz dus 49' n» zo'" 49^1913%8S$9 enz.
dit wederom door 60 deelende, om tot graaden
te maaken.
komt 36° 49' u" 29'" ~ 360,8i98564ó
Meer Voorbeelden.
1°) 9 ./?#*>. 15I />. 9\ penn. s=s 0,80691 'Goud-gl. 4°) 23 %\ fchép. = 0.8^5 .Ltfrt
50} 5 19 e^g 301 aas— 0,74975 Mark.
6°) 170 n' 3" st/r, 7= 27% 1844+30505^, 7 _) 17 vSVfo//. 2^ gr. sa 0,8604666 pond-vl. $°) 127 /fo*. ii 7| Unie— 127,9704861 y.
C. /fee es» decimaale breuk tot een gewoone gebragt wordt.
5 615 Een decimaale breuk komt terftond toe de gedaante van een gewoone, als men den noemer fchrijft Zoo is is 0,379 ~ Tgg; 37,0:27 sa 37-^ enz. —- deefe zaak heeft derhalven geen de minfte moeijelijkheid. het eénigtte, dat hier in aanmerking komt, is, dat men zien moet of de gewoone breuk verkleint kan worden, en dit kan niet anders plaats hebben, dan in het geval als de tellers door één der getallen van de volgende reekfen deelbaar zijn.
2»
i
ÏIB.IIIH.XXF.L. ÓvJellèrlJcrDec,Bretih$$z.
2, 4, 8, 16, 32. 64, 128, 255, gi2j I024 enZ5, 25, 125, 625, 3ias, 156*5, 78125, 390625 enz.
J 616 Maar als de breuken niet verkleinbaar zijn, en het echter gemakshal ven nodig is, zodanige breuken in kleiner getallen te hebben, moet men gebiuik maaken van den régel pag. 412. § 488. voorgefchreeven, alwaar een genoegzaam getal ophelderende voorbeelden voor handen zijnae, eeq verdere verklaaring der zaak onnoodzaaklijk is,
D Hoe decimaale van Gelden, Maaten en Gewigten tot de gewoone deelen en 7nin* derdeelen van dezelyt? herleid, worden..
§ 617 Dit is het omgekeerde van artikel B en wordt uit de régels, in de IX Les opgegeeven, verklaard. Waarom eénige uitgewerkte voorbeeld den tot verklaaring genoeg zullen zijn.
I Voorbeeld. De breuk 0,37892 Guldenjj, tot ftuivers en penningen te brengen?
0,37892 Gulden met 20 gemuit: om tot fluivers te maake»
komt 7,5784 ftuivers met 16 gemuit: om tot penningen te maaken
komt 7 ftuiv. 9,2544 penningen.^ 0,37893 guld.
532 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
II Voorbfeld. 33°»?98i7i tot minuuten fecunden, tertien enz. te maaken?
multipl: met 60 tot minuuten
komt 330 47',896r6 multipl: met 60 tot fecunden
komt 33° 47/53/,»?756
multipl: met 60 tot tertien
fc>™33°4?'53"4é"',536
multipl: met 60 tot quarten
komt 330 47'53"46^3^,16= 33 °.79827J.
Elk ziet hier uit, dat dezelfde régels, welke ■dienen, om de heelen van munten, maaten en ge. wigten tot minderdeelen te brengen, ook in deefe herleiding moeten gebruikt worden. Waarom wij den Jeefer , die eenigen twijfel mogt hebben, verzoeken de IX Les te raaöpleegen.
Meer Voorbeelden tot oeffemng. i °> 7>3825 Goud-gl. =5 7 G-gl. 10 ft. 11,36p. *°) 0*3825 -Ducaat w 2 Guld 2,6penn. 3") 0,3795 Last a 10 mudd 0,986 fchép. 4°) I5°,82539 » 50' 49' 31" 24"' 14"" 24""' S°) ifMiSSMark* ij9Markti onc 4,096 aas.
XXVI
1LB.1ILHXXVLL.0v Je wéderk. Dec. Breuk.s$%
XXVI Les. Over de wéderkeerige Decimaale Breuken.
1. Wat wéderkeerige Decimaale Breuken zijn § 618.
Als men een gewoone breuk gelijk T- tot een decimaale breuk brengt kan, zo als wij gezien hebben, de deeïing nooit opgaan, zo dat 'er nimmer een de- r r maale breuk 13 < 1,0000 enz. <0,(076923) 076923 kan gevon- t 90 ^ C°7 den worden 120 die aan de 30 gefielde ge- 40 lijk is. Maar 10 enz.
als de deeling, die tot de herleiding nodig is, wel ingezien wordt, zal men wel dra gewaar worden, dat na verloop van eenige deelingen, dezelfde resten der deeling wederkomen, die men te voren reeds gehad heeft, waar door dan ook dezelfde cijffersin het quotiënt wederkomen; dit gaat zonder ophouden voord, gelijk men overtuigend zien zal, als men het névcnftaande voorbeeld tot 30 of 40 deelingen voordzet, als wanneer blijken zal, dat telkens de cijffers 076923, die tusfchen twee haak jes ftaan, wederkomen,
§ 619. Zulke decimaale breuken, waar in telkens de ?ijffers wéderkeeren, noemt men wéderkeM m 3 rige
GRONDBKG. der CIJFFERKUNST.
f-ige Decimaale Breuken, en men is gewoon dezelve aldus te fchrijven, -l ~ 0,(076923)07 enz: ; = c,fi); i==o,(;3); .-4=0,(18); 3-—0,(513)'
il»0,13(8,»; 'j= 0,39(285714).
§ 52o Het getal (076923) in het eerfte, (1) in het tweede, (3) in het derde, (18 ) in het vierde (285714) in het zévende voorbeeld, dat bij herhaaling voorkomt noemt men het repetendum of herhaal-getal, dat wij in het vervolg altijd tusfchen twee haakjes zullen zetten.
§ 621. Men onderfcheidt de wéderkeerige Decimaal breuken in zuivere en gemengde. Door een zuivere wéderkeerige decimaal" breuk verftaat men zulk een, waar in alleen het repetendum bij herhaaling gevonden wordt; gelijk 0/3); 0,117) 0,(1826; enz. Een gemengde wéderkeerige de. cimaale breuk is zulk eene, waar in behalven het repetendum nog een ander lid vooraf gaat, gelijk 38>(°>) 3*8(725) 0,17(3127925) enz. De zuivere wéderkeerige, als ook de gemengde noemt men één, twee, drie-lédig enz., naar dat 'er één, twee, drie of meer cijffers of léden in het repetendum gevonden worden. Zo zijn 0/8); 3>2(7_) éénlédige; 0,(39) en 7>92(37) tweeledige (7,79) en 38,2(829) drieledige wéderkeerige decimaal breuken.
ÏI Eigenfehappen der wéderkeerige Decimaale breuken.
S 622. Als men de Breuken }, ~U -,m\ enz: tot decimaale breuken brengt, zal men
voor
II.B. IIL H.XXFI.L.Ov.de wéderk. Dec.Breuk.5sS
voor \ vindena ot( 1); o,Coi); ^a o,( ooi) js,-o,('oeoi); 555^^0,(00001^ voor a 0,(000001) enz« -—• Om die réden moeten de breuken 1-, $, 55! als de hoofdbreuken aangemerkt worden, waaruit de wéderkeerige decimaale breuken ontllaan.
§ 623. Hier uit is gemaklijk afteleiden, dat elke wéderkeerige decimaale breuk gelijk in waarde is met een gewoone breuk, waarvan de noemer een getal is, uit zo veel négens beftaande als 'er cijffers in het repetendum zijn, en waar van de teller het repetendvm zelve is; zo dat 0,(7 )aj; o,(37)a
VA 0,(347)-$; °,(378SD o»(38279i) enz.
% 624 Dit zal gemaklijk verftaan worden, als men de natuur der wéderkeerige breuken zich behoorlijk voorftelt. Want als ik o,(i)ai fchrijf, wil het zeggen»
dat-a—4- —+ —-4 ; enz.
als men nu deefe gelijkheid met 7 verménigvuldigt
komt -|a f0 Jo + jd + izd+ enz~ °>C7) wederom-^ ^ 4. ~ 4- j^0+ enz. dit met 37 verménigvuldigd,
komt g- !oo +1^0 + 7^dL+ enz <=j o,(37>
Op gelijke wijfe is het met alle andere wéderkeerige decimaal breuken gelegen , zo dat hier uit, genoegzaam de zékerheid van de aangenomene ftelrégel vastgefteld is.
§ 625 Het is niet altijd noodzaaklijk, dat de noemers der gemeene breuken, die aan de wéderM ra 4 kec<=
§36 GRONÜBEG. der CIJFFERKUNST.
keerige breuk gelijk worden, ééa deefer getallen 9> 99, 999, 9999 enz. zijn; want T'r a 0,(09;. 4 = 0,^076923 enz met meer anderen; maar als dat plaats heeft, moeten de noemers deefer breuJcen fi en ;| évenmaatige deelen van 99 en 999>;-99 zijn, het welk ook in der daad plaats heeft, want; 9Xji^99 en 13x76923a999999.
De noemers der gemeene breuken, die een wé. derkeerig decimaal-getal kunnen worden, moeten uit de deelers van de getallen 9, 99, 99 ) ■, 9999 e,z. gevonden worden ;)ie deelers zijn in deefe onderftaande tafel te vinden.
9=~3, 3 99=6 y 3» 11 99.9=3, 3, 3, 37 9999=3* 3, i'» »oi 99999=3, 3, 41, 271 999999-^3, 3, 3, 7, 11, 13, 37 9999999=3, 3, 239, 4649 99'99999=3* 3, ]U 73, 101, 137 999999999-3, 3, ï? 3,37, 333667 dat men zelf verder kan berekenen, enz enz.
De eerfte deelers deefer getallen berékend zijnde, gaat het altoos vast, dat eenige breuk, die een deefer deelers tot noemers heeft, tot eene wéderkeerige decimaale breuk herleid kan worden, die zoo veel léden in het repetendum heeft, of hebben' kan, als 'er léden in het-hoofdgetal, waartoe die deeler behoort, gevonden worden.
Zo
ÏLB.III.H.XXFHL.Ov.deV&erk. der Getallen,^
dat de inhoud van een vierkant of quadraat gevonden wordt, als men de lengte met de breedte vermé' nigvuldigt.) De quadraaten of vierkanten ontitaati dus uit de verménigvuldiging van een getal met zich zeiven. Het vierkant van 9 is 9x9 of 8ü» hë£ vierkant van 36 is 36x 36 a 1296.
§ 635 De vierkanten der getallen t, 2, 3, 4} 5 enz ontftaan als men de onévene getallen 1, 2 * S> 7 5 9 enz« geduurig optelt.
1 is hét vierkant van 1 1+3 of 4 is het vierkant van 4 1+3+5 of 9 is het vierkant van 3 1+3+5+7 °f *6 is het vierkant van 4 ï+3+5+7+9 °f 2 5 is het vierkant van 5
Hier door is het dan gemaklijk, om zonder re multipliceeren, alleen door optellen een tafel der vierkanten van de natuurlijke getallen 1, 2, 3 , 4, enz- op te ftellen, het geen reeds door Fretfst, Wolf en anderen tot gemak der Rékenaars gedaan Is.
IV. Hoe het vierkant van een getal kaü gevonden worden.
$ 636 Als een getal in twee deelen gedeeld is$ zal, als men de vierkanten deefer deelen met twee* maal het product der deelen optelt, de fom éó groot zijn als het vierkant van het geheel. Als 12=^ 54-7 is, zal5X5+7X-+2x5x7=12x12. — eü Als c=a+b; zal aa + bb+ ,,ab — cc, liet welk zeer natuurlijk is, want a+b met a+B
U
544 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
te verménigvuldigen, is te bepaalen wat Qa-\-b)xa en (a+bjxb te zamen uitmaaken.
Nü ïs (a+b)xa=aa+ab en (a+b)xb = bb+ab dus (a+F) x a+(a-vbjxb *=aa+bb+<2 ab—cc
§ 637 Deefe leerftelling is van een goed ge. bruik , als men een grootheid of getal tot een vierkant zal brengen: te weeten, elk getal verdeek zich natuurlijk, naar de cijffers, die in het zelve gevonden worden» Zo is 37 — 304-7; 932 — 9004-304-2 enz: als men dan het vierkant van een tweelédig getal zoeken zal, telt men de vierkanten der léden met tweemaal het product, der léden bij elkander, waar bij men onder het oog houden moet, dat de vierkanten van éénen, éénen; van tienen honderden; van honderden tienduizenden; van duizenden, tien maal honderd duizenden of miliioenen zijn, enz.
Als men dan de vierkanten van 97, 83, 124 zal bepaalen, werkt men dus.
ABC 81 j 49 64 I 09 144 j 16 (der léden. 12 j 6 4 J 8 9 I 6 dubbekl product
9409 6889 15376 vierkanten.
In voorbeeld A heeft men het vierkant van 9 of 9 tienen de 81 namelijk in de plaats der honderden, en 'er de 49 het vierkant van 7 agter aan gefchreeven. De 126 die'er onder ftaat en 'er bi) geteld is, ontftaat als men 90 of 9 tienen met 2 maal 7 veiménigvuldigt, wanneer het produél ook
tienen
tienen zijnde, door ééne Ietter agter öit te plaaïfen op, zijn behoorlijke plaats komt.
§ 633 Als men een veellédigegrootheid a+b + c + d+e+eaz. tot een vierkant wil brengen, zal de fom van de vierkanten der léden met tweemaal het product van de twee eerften tweemaal het prodüct, van de fom der twee eerften met hec derda 2 0 + Xff, tweemaal het prodoft van' de drie eerfte met he: vierde of 2 (a + b + c jxd enz. alle bij elkaader geteld, hec vierkant van de ge. heele fom zijn. Want.
r a+b+c+dy+ee+i'ya+b+c+d)xeqi&W+c&d
(a+b+c/ +dd+ z(a\-b+c)x 'dh (a+b+c+df (a+b ~-+cc+2~(a+b-hc+d+e^ zijn, +i(a+b+c)Xd J ; +2 a+b+c+dXe j
§ 639 Hieruit volgt, hoe men een getal, dat uit dne of vier léden "bellaar, gemaklijk in het vierkant kan brengen, bij voorbeeld het getal 37.15 ~ 3,ccj +70 =+40+5.'Hieris«a 3000, £3700, czs^ d— S'
aa'bb'ccldd 9 I49 16 25 _j a>+&+e»H? 4 2 1 zzzab ■
(290 & beftaat het gecombineerde getal 2090 wederom aj uit het vierkant van het volgende lid, en b ) dan nog uic tweemaal hec produel; van de fom der twee voorfte léden met het gezogte, (Zie§ 638). — daarom verdubbelt men het reeds gevondene 23, komt 46, dat fchrijft men onder 2090 (de agterfte plaats wederom open laatende) en vraagt hoe ménigmaal 46 op 209? komt 4 maal, deefe 4 fchrijft men agter de 46 en in de uitkomst, en dan multipliceert men de 464 met 4 komt 1856 = aan 4X4+2 maal 23X4, welk getal van 2090 afgetrokken, 234 overblijft. De bewerking is tot dus verre
N n 3 $
$$o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
5'49>90>25{234 4 i
U9 L.
43
C3
129
2090 464
~C4
1856
234- —f
Eindelijk de twee laatfte cijffers ageer het overfchot plaatfende, beftaat het getal 23425 wéderorii Uit het vierkant van het laatfte lid, dat nog gevonden moet worden, en tweemaal het produci van het gezogte met de fom der drie gevondene léden 2,"4, daarom verménigvuldigd men 234 met 2, komt 468; deefe zet men onder 23425' (de agt'.rfte plaats openlaatende) en nu vraigt men: hoe veel maal is 468 op 23425 begreepen? het andwoord is 5 maal, deefe 5 agter 468 in lédig" ftaande plaats en agter het reeds gevonden 234 gefteld, en 4685 met 5 verménigvuldigd zijnde, zal het iomcTid-: prodtiéï 234253 5X54-2maal 234X5, vt.; 3425; afgetrokken niets overblijven. En nu ïs : Wits wortel van 3549.90353 2345. .• • öwocele bewerking is hier onder te vinden»
ILB.UI. H.XXm.L.Q.denVierk.mrteU 551;
. $a b c d
5*9*0,23 \% 3 4 5
4 . . . a
149
43 . a 2tf 4- o
129 . 2 *è + bb .
£090
464 a 2 (a + b) + c . a (c
1856 3 2 ( Want als men van de breuk !L telier en noemer met'n verménigvuldigt (n geen vierkant zijnde,) kont
een verkleinbaare breuk, dech zo men nu uit deëfe-
V n ' : '
•fcreuk 2 in dien ftaat de vierkants-wortel maet trek-
b'- n \ ken, za! zulks niet kunnen gefchiedeh, om dat teller en noemer worte!I«ofe getallen zün , indien men dan de breuk etrs'i döor n verkleint, zal de1 wortel uit de verkleib'd* brca?. ii kunnen getrokken worden en 1 zijn.
Ai ■ h 1
II.B.ÏII.H.XXFII.L. Ov.den Vierk, Wortel. 5S$
VIII. Hoe de wortels uit decimaal getallen moeten getrokken worden.
§ 646". Hier dient men oplettend te zijn , dat men altoos de verdeeling van -het decimaal punt beginne te rékenen, voor de heelen naar vooren en voor de decimaalen naar agteren , en dan moet men uit het decimaal - getal de vierkants-wortel trekken, alsof het een heel getal was, mids niet te vergeeten , het decimaal punt in de verkreegene wortel te plaatfen, op die plaats, waar het zelve ftaan moet, te weeten als men aan het decimaalpunt van het geftelde vierkant gekomen is, moet men ook op die plaats het decimaal-punt in de wortel plaatfen.
Voorbeeld. De vierkants• wortel uiü *389,7984 en uit 0,000680625 te trekken? A.
131 80, 79184 f37,28 Wortel 9 \
489
_ 469
2079 742
59584 7443
* o<*
59584
O
N n 5 g.
554 GRONDBEp. der CIJFF^RKÜNST.
B f
0,00,00,68,06 25 «0,00825 Wortel,, 64 i
406 161
O
8225" «645
(5
8225
o
Meer Voorbeelden toe oefening. 1°. V 10,6929 =! 3,27; 2° 1/99,2016=3 9,9^; 3°. V 3,0276 ~ i,74- 40*»7 76,Séa5=3 8,75, 5°. V 152,399025 =3 12,345,' 6°. ✓ ir95So,669iÉi =* 345,76i. 7°. ^ 0^296 =3 o, ;6; 8°. V* 0,0016 s- 0;04; 90. V 0,000000737881 ca 0,000859; ïo°.V 0,0000288369 =50,00537.
JX* Over de Wortelloofe - getallen.
\ 647. De getallen 2, 3, 5, 6, 7, 8, Io, \\, 12, enz. — die in de natuurlijke reeks der getallen, tusfchen de reeks der vierkante getallen 1, 4, 9, 16> 25 , 36, 49 enz. invallen, worden woyteloofe'getallen genoemd; de réden hier van is, dat 'er geen heele of gebrokene getallen zijn, die in zich zeiven verménigvuldigd zijnde , zulk een wortelloos getal volkomen kunnen uitmaaken. Om het welk te betoogen, ftel ik, dat men 4e wortel van hec getal 13 wil zoeken, deefe wortel
II. B. III. H. XXVI. L. Ov> de fVortelloofe Gei. 555
tel (ndien zij 'er is) zal grooter dan 3 en kleiner dan 4 moeten zijn, dus 3 + (de breuk
b
1 ftellen wij cp het meest verkort te zijn) als dan 3 + i of lM~a met 3JLL_ verménigvul.»
b I) b °
digd wordt, zal het product C—tl.)' — 13, gelijk een heel getal moeten zijn. Maar dewijl de breuk 1 niet meer verkleinbaar is, zijn a en b
onderling onmeetbaar dus ("3 b + a) en (b) ing. gelijk onderling onmeetbaar, maar zulks plaats hebbende, zijn (3 b + en bb ook onderling onmeetbaar; de breuk (liill)3 zal dan aan geen
heel getal, niet aan 13 kunnen gelijk zijn, aangezien anders ( $b + a/- 0 13 bb 9 zou moeten zijn , het welk onmooglijk zijnde , aantoont dat het getal 13 geen volkomen vierkants - wortel in getal heeft.
Wij zeggen een volkomen vierkants* wortel in getal, dewijl 'er wel dégelijk zulke vier kants-wortelen, vooral in de Meetkunst zijn. (a) Maar zij zijn van dien aart, dat zij door geen getal aaauw-
keu-
(«) De hoeklijn van een wierkant, dat een voet Jang en een voet breed is, is gelijk aan den vierkants-wortel uit 2 , gelijk in de Meetkunst beweefen wordt, maar aangezien de vierkants-wortel uit 2 door geen getal bepaald wordt, ten zij het te groot of te klein worde, kan de diagonaal of hoeklijn van het vierkant, noch door de zijde noch door eenig évenmaatig bepaald deel van de zijde volkomen gemeeten worden. Hier in heeft men dan een voorbeeld van onmeetbaare grootheden , daar wij reeds meermaal van gefproken hebben, enhoedanige in de Meetkunst zeer veele gevonden worden.
§56 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
keurig (niet anders dan nabij) kunnen aangeweefen worden.
Om nu éven wel de waarde van de vierkantswortel, uit een wortelloos getal, zo na mogelijk, te vinden, werkt men raar het algemeene voor. fchrifr en als men tot de laatfte werking gekomen is, fchrijft men agter de rest die in zulke gevallen altijd plaats heeft, twee nnllen , en agter de laatfte cijffer van de wortel het dicimaal-punt, en werkt dan voord, naar den algemeenen régel, telkens agter elk nieuw overfchot twee o o fchrij vende.
Voorbeeld. De vierkante wortel uit 19 zo na mogelijk in getal te bepaalen? 'Berékening 19 -£4,358898943euz- 3
Tö
300 : 83
t (3
249
5100 86 enz.
Hoe meer léden men neemt van de decimaale t>reuk des te meer komt men in getal nader aan de wortel uit 19, zodanig dat de wortel uit ï$ grooter is dan 4,35 kleiner dan 4,36; grooter dan 4,358; kleiner dan 4,359 enz — waar van men kan overtuigd aljn, als men de vierkanten van deefe getallen opmaakt; want 4,3X4,3 is kleiner dan 19; 4,4x4,4 grooter dan 19; 4,35x4,35 kleiner dan 19; 4,36x4,36 grooter dan .0, enz. -— Zo dat elke eijffer nader aanwijst tusfchen welke breuk-tallen de, waare wortel fteeds nader komt. ——
Meer
56*4 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
(a+B)l~ 1369.. a+B « 37
Cs
3(*+6f~ 4107.. 3(^)=: ui.
c a 6 f's 36. c's216
B(a+Byc=z 2464200 3(a+D)cs 3996.
3996 216
2504376= 3^+^*^+3C^+^)f'+^. dit bekomene getal 2504376 van 2844400 afgetrokken, blijft er over 340024. Dit is tot dus verre de bewerking. r
535497,400,832 < 376
27=; a5 lahc
26497
23653a aV+afr+c' 2844400
2504376- 3(^)V4-3C*+Oc'-^ 340024832
Om eindelijk de laatfte cijffer van de wortel te Vinden, herhaalt men dezelfde bewerking (a+B+c)' ~ 141376 ltf4-2?4-c — 376
2(a+b+cf a 424128 i3(*4-£+0 «1128^51» — een breuk, m X A
die 'door A verkleind zijnde, I geeft. — De der-
' m
de term gedeeld door de vierde m x B, geeft . B en deefe breuk door B verkleinende, is
ook L de verkleinde breuk ■— deefe daadelijke
IR
deeling bewijst, dat als van de vier grootheden of getallen de eerfte door de tweede en de derde
door
ni.B.l.H.XXVIU L Qv.de Meetk Proport 57G
door de vierde terra gedeeld worden, de komende quotiënten in beide deelingen gelijk ziia; dewijl nü ("Zie § 659 ) de natuur van eene proportie juist daar in beslaat, befluic ik dat A, m x A, B en m x B in proportie zijn.
Op gelijke wijiè moet de évenrddigheid van de zes volgende verfchikkingen beweéfen worden , wij Iaaten dat ter befchouwing voor den leefer over, om hem gelegenheid tot zelf denken te geeven,
VIII. Voornaame Grond-ei genschap der proportien.
§ 67 x. Alle proportien in getallen hebben die eigenfchap, dat de eerfte term met de vierde vermenigvuldigd , het produft juist zo groot is, als hetprodu;}; van de tweede, met de derde term verménigvuldigd.
Proportien Produften der termen.
Als 7: 8=3 14:16 zal 7x16=38 x 14 a 112
9:16-18:32... 9 X32=3 t6xi8 = 28§
3: 6— 6". 12... XX12 — 6 x6 =136
lU 3-i| l3k"* IhX3^ =3 3 xi| =4^
f: \ -a 3 :a ... ax| « § *3f;~i1 zijn
Deefe Helling is gemaklijk te bewijfen. Want wij hebben aangetoont, dat al le proportien , die in getallen gegeeven kunnen worden, in deefe algemeens proportie
A : B - m X A : m X B. of zo men wil in deeie
A : tn X A - B:«XB. liggen opgeflooten. Als men nu lm de eerfte proportie de eerfte term A met de vierdp 9 X 8 Pps ver»
58o GRONDBEG. der CÏJFFERKUNSf.
vermenigvuldigt, komt A X m X B tot produSi; en de tweede term B met de derde m X A verménigvuldigd , komt voor het produel: B X m X A, dat het zelfde is met het eerfte product A X m X B, dat biweefen moest "worden.
Het zelfde heeft ook in de tweede proportie A : f» X A:=sB:0zXB plaats.
Deefe grondftelling wordt meestal uitgedrukt onder deefe bewoordirg. „ Het produel der ui„ ter fte termen is gelijk aan het pro (tuft der ,, middelfte termen. *'
ÏX. óver de vierde , derde en midden - évenrédigen — en hoe dezelve gevonden worden.
% 672. a) Over de vierde-évenfédige ) De vierde term ( 3 O van eene proportie t 8 ; 7 ~ 4:33) wordt de vierde-évenrédige genoemd, én hangt af van de drie get:;llen tot wélke zij de vierde évenrédige is, zo dat drie getaiien nsar welgevallen kunnen gefteld worden , maar de vierde- éveniédige Zal dan van die drie gefielde getallen afhangen.
Om tot drie gefielde getaiien 7, 8 en 21 een vierde-évenrédige te vinden, ftelt men voor die
vierde • évenrédige x, en dan moet
7 : 8 =r 2r . x. nu is het product, der uiterften gelijk aan het product der middelften, 671.)
derhalven 7 maal x a 8 maal 2t ~ 168.
Om hier uit de waarde van x te vinden, moet men doör 7, de multiplicant van x\ divideeren, (a)
komt
(O Tot opheldering moetik zeggen, dat het eenealgesieene grondwaarheid is, djor elic erkend, dat, gelijke
(zo
III. B. I. H. XXVIIIL. Ov. de Meetk. Proport. 5 81
8 maal 21
komt x c= ■—- — 24, de vierde-évenrédige zijnde 7 : 8 a 21 : 24.
Als algemeen gegeeven waren a, b, c en dat een vierde-évenrédige x begeerd wierde, zou men wéderom ftellen
a : b c : x maar dan is a X x a b X c CZie § 671.) deefe vergelijking door deelende,
komt x a L~_l a
Dit is een algemeen voorfchrift, het welk ons leert, dat, om tot drie getallen een vierde.évenrédige te vinden, „ de twee laatfte getallen met „ elkander moeten gemultipliceerd en het komende „ ptoduii door het voorfte getal moet gedivideerd „ worden , zijnde dan het komende quotiënt de „ vierde» évenrédige. "
De vraag, om een vierde-évenrédige te vinden is van zulk een uitgefirekt gebruik, dat het als de ziel van de wiskundige rékeningen wordt aangerrerkt — De régel van drien niet anders dan eene bijzondere toepasfing van die vraag zijnde, zullen wij daarom nog eenige voorbeelden ftellen.
Op-
(7.0 ah men het gewoonlijke uitdrukt,) door gelijke g>' desld zijnde , de quotiënten gelijk zijn , dat is in een meer ve.ftaanbaaren ft;jl: van gelijke dingen, zijn de helften, derde, vierde-parten enz. gelijk, In ons geval zijn twee grootheden , ©f liever twee uitdrukkingen 7 maal x, en 8 maal 21, die gelijke waarde moeten hebben, dus zal ook een zévende van de eene uitdrukking een gelijke waarde hebben, met een zévende van de andere; dat is x heeft met een zévende van 8 maal 21 of 168 dezelfde waarde dat is x n— —^ 21 —— 24.
7
PP 3
|8s GRONDBEG. der CïJFFERKUNST.
Gegeeven 3^:7- 2 f : x is x 5 ï
1 :§a bi?} :arlrsr» tóg 9: : 17; !=: ïoo :.vis^;t= i8i3,' 8 i : 9r! ^ IQ; 's x = ïo-15 c.79 : 32,82 ic 6,27 . x is x e= 6907,57
* Hieruit volgt, dat welke term in eene proportie Uitbreekt , dezelve ahijd kan gevonden worden.
1 Als van de proportie 9 : 16 = 27 : 48 de eerfte term 9; ontbreekt, en men dezelve vinden Wil, ftelt men
x : 16 =3 27 : 48
hier door is 48x3 16 x 27, (§ 671.)
dus x 0 — ^— =odeeerfteterm. 46 *
ÏI Als de tweede term 16 ontbreekt, ftellen wij
9 : x =3 27 : 48 en dan is 27 x x sa 9 x 48 9 X 43
en * sa —jj— — 16 de tweede term.
ÏII Als de derde term (27) ontbreekt, is de ftelling 9 : 16 sa x 48 dus lótfsa 9x 48
9x4^ , , , en #sa —— != 27 de derde term.
§ 673. Voor de algemeene waarde van een Vierde évenrédige x tot a, b , e is gevonden ar e - , voor welke uitdrukking (ic) kan gefchreeven
worden — x c \ dit leert ons, dat men altijd de vierde
a
evenredige vinden zal, als men de derde term ver. ménigvuldigt met het geen 'er komt, als men de tweede term door de eerfte deelt. — Een ftelrégel, die men dikwijls met vrucht gebruiken kan.
§ 674-
UI. B.I.71 XXVIII. L. Over deMcetk:proport.s%S
door verftaan wordt § 656") kunnen met het zeKde getal, dat men willekeurig neemen kan, vermé» rdgvuldigd oi gedeeld worden, zodanig, dat de o-. verblijvende termen, die niet verménigvuldigd of gedeeld zijn, met de komende producten of quo* tienten in evenredigheid blijven.
Dat is als A: B — C: D een proportie is, en n eenig getal, dat willekeurig genomen is, zullen door multiplicatie en deeling van de gelijkHandige termen, uit deefe gefielde proportie, de volgende agt proportien geformeerd worden.
Algemeen in Getallen
uit A: B-rC: D { 60:90= 120:180
door multiplicatie van de gelijkHandige termen.
i° A"X?:'BXn=: C : D 3X<5o:yoX?= 120:180' a° A:il = cX'i:^Xfl6o:9o=; 3XI2°:=Xf8o 3° »XA:B=; »XC:I) 7XW:9°- 7X'2o- 180 4° A:nXü = <~:nXOl63:&X9°= 120:8X180
door divifie der gelijkHandige termen. 5* A-r«i:B-i-te C :D,ooi 2:904.2 = 120: ijjo 6* A~' B=s C-f n^D^.n|6o;90=i 1204-10:180 — 10 7° Af» :B=Ct n ; D 604- 12:90=; 120 i 12 • igo 8° A: B A«z C: D 4- n'fio : 90 4- 9~ 120 :1807-9 _ Dat alle deefe agt (tellingen waarlijk proportien zijn, kan zeer gemaklijk aan het verftand van den leefer gebragt worden, want
als A: B =3 C: D een proportie is en A en B elk met » verménigvuldigd worden is A:B=3 «x A :nxB volgends § 668 maar A: B=? C:D volgends deonderftelling
derhalven Ax«: Bx» ~C:D. om dezelfde réden isA:B=Cx»:Dx«. Het betoog van de derde Helling is dus A:B=; C:D onder/lelling derhalven A:C =; B: D volgends (§ 670) bij m. keer mg. 1
dus ook A x n: C x n « B: D uit hec beweefene.
p P 5 en
$86 GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST.
en ook Ax#: B=3 Cx«:D bij omkeering.
Om dezelfde réden is
A:BX«=: C:Dx«
Op dezelfde wijfe betoogt men, dat de vier overige ftelligen in de daad proportien zijn; maar dat laaten wij tot eigen overdenking van den leefer over.
5 677. Deefe eigenfchap der proportien is van een uitgeftrekr eebruik, als men de getallen of ter-, men van een réden, wil veranderen in twee andere termen, die dezelfde réden hebben, en tot het gebruik geschikter zijn.
i e De multiplicatie dient. om als de léden gebroken ofgemengie getallen zijn, heelen getallen in plarts ie verkrijgen, die tot elkander dezelfde ré« den hebben als de gefielde.
Stel daarom. dat men de termen van deefe réden 71 tot r$| in heelen veranderen wil, dan multipliceert men beide termen met 8 het grootfte gemee'
ne veelvoud van 1 en 8; dan komt 8X7 tot
8X.: 5s 1 dac is 6 3 tot 127 welke getallen 6a en 527 tot elkander dezelfde réden hebben als j\ tot
15*
2° De deeling dient, om als het mooglijk is, voor de termen van eene réden twee andere in kleinere getallen te vinden: maar dat heeft alleen plaats, als die getallen of léden een* gemeenen deeler hebben, en dan noemt men dat, de proportie of
r vD en te verkleinen, f»
Srel
(a) Ais wij de breuken in de x7iii Les § 473 hebben leeren verkleinen, is zulks in da daad niets anders geweest, dan de réden, die de teller tot den noemer heeft in kleiner getallen te ftellen. Dat is als |— l bevonden worden, is 6:8=: 3:4. Nu éven als de teller en noemevaq een breuk onverkleinbaare getallen zijnde, die breu
niek
III.BJ.H.XXVIII.L.Qverde Meetk proporttff
Stel, da: men heeft de getallen 256 tot 144.
256 en 144: indien men deefe 2) ■ ■
door twee deelt, zal 256 tot 144 128 tot 72
zijn als 128 tot 72; de termen 2) '——
deefer laatfte réden wederom door 64 tot 36
twee deelende, komt 256 : 144 4) 1
s 128:72— 64:36: de termen 16 tot 9 der réden 64 tot 36 door 4 deelende, is 64:36 - 16 : 9-
30 De tweeaangeweefene gebruiken deefer eigenfehappen bij elkander neemende, ftellen ons in ftaat, om als men tot drie gegeevene getallen een vierde - évenrédige moet zoeken, en één of meer deefer getallen breuken of gemengde getallen zijn, in plaats van dezelve andere te verkrijgen, zodanig, dat in de betrekking dier andere getallen tot het gevraagde, bet gevraagde getal onveranderd blijft.
Laat ons ftellen, dat tot deefe drie getallen 13? , 6: en 16; een derde-évenrédige x moet gevonden worden; dan is volgends de vraag 13;: 61 ~ i6\: x
i° Als men nu van deefe proportie de eerfte ett derde term met 4 vermenigvuldigt, komt
55 : 6; =3 65 : x in welke de vierde x onveranderd gebleeven is.
2^,
niet kan verkleint worden, éven zo kunnen als de termen, waar uiteene réden kellaat, onderling ondeelaaare getallen zijn, zulk eene réden in geen kleinere getallen uitgedrukt worden. Voeg hier bij, dat als de telleren noemer vaneen breuk onverkleinbaar zijn , "n men évenwei die breuk zo na mogelijk is, in kleiner getallen hebben wil, zulks ook het zelfde is met de réden van twee onderling ondeelbaare getallen in kleiner getallen, zo na mogelijk; is, uit te drukken. Zie S 490 & ftq.
S§8 GRONDBEG. der CIJFFERKTJNST.
20 Voords de eerfte en tweede léden elk met 7 verménigvuldigd, komt.
385 : 44 - 65 : x m welke proportie wéderom de waarde van x onveranderd gebleeven is.
30 Als men de eerde en derde term elk door 5 deelt, komt deefe nieuwe
. „ , 77 : 44=! 13 : *
m welf.e de waarde vaa x onveranderd gebleeven
4° De beide eerfte termen eindelijk door n deelende is
7.4 13 • x eene nieuwe proportie, waar ia de waarde van x wederom dezelfde is als de eerst gefielde.
Als men na deefe verandering de waarde van ar berekenen wil, is zulks door de laatst gevondene proportie gemaklijker, dan door de eerfte; want nu zijn voor eerst door multiplicatie der gelijkHandige léden alle de gebrokens weggemaakt en door deeïing heeft men voor de heele getallen, kleinere m plaats verkreegen, die diensvolgends minder lastig zijn in de uitvoering van den régel; want uk de laatfte proportie is.
x =3 4X'3_ S2 —
Een leerling moet zich nltijd gewennen te onderzoeken , of eenige réden, in getallen opgeevcn, in geen kleineie^ getaiien kan gefteld worden.
S 678 Wij hebben gezien wat verandering de gelijkHandige termen ondergaan kunnen, maar nu vraagt een fchrander leerling wat verandering kan 'er aan de ongelijkftandige termen gefchieden? en w;j zullen zijne nieuwsgierigheid voldoen met te zeggen, dat één der gelijkHandige termen door
eenig
III.B.I.H XXFIILL.OverdeMeetk.Propm 5S9
eenig getal verménigvuldigd en het andere door het zelfde getal gedeeld wordende, het produel: en quotiënt, elk op zijn plaats blijvende; met de onveranderde termen évenrédig zijn. Zo dat als A;B= C:D een proportie is, ook de vier volgende proportien zullen zijn. Ax»:Bs5 C.ti-s-B Av»:Bs C:DX8A:fix« — C~-«: ö en A ; B-7-» = C x »: D. Het aal genoeg zijn, aileen één van deefe fM« lingen te bewijfen
Als A:B=: C:D
is Ax»:Bx»öC:D (Zie $ 6>3) . van deefe laarfte proportie de tweede en vierde term door « deelende
is Ax«: B=ï C:D-ï-» dat volgends § 673 ook een proportie is. Aldus bewijst men ook door behulp van de del ■ lingen § 673, dat de drie overige (tellingen ook proportien zijn — Wij zullen hier van in het ver volg nog wel eens gebruik maaken.
XI. Hoe uit zanaenvoeging en fcheiding van de termen eener proportie nieuwe proportien ontdaan.
% 679 Als A : B =s C : D eene proportie is, kunnen uit deefe ééne proportie de zes volgende gemaakt worden.
i° A4B : C+D e= A : C ofa B : D
£° A-~\ : C~D es A : C of = B : D
3« A+B 5 C+Ds A-B : G-D.
5Qo GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
4° A4-C : B4-D =3 A : B s C : D 50 A-C : B-D - A : B =: C : D 6° A+C : B4-D s A-C : B - D. Welk elk in het bijzonder de verfchikkingen der termen § 670. en de verandering door mulei, plicatie en divifie, § 676. geleerd, ondergaan kunnen, (a)
i° Dat de eerfte ftelling een proportie is, kan dus beweefen worden. C kan gelijk zijn aan n A, maar dan moet ook D s»B zijn , daar door verandert de proportie.
in A;B ts C : D
in deefe A:B ts n x A : n X B. (Zie § 668.)
Als men nu ftelt
A+B:8A+8XBcA:«XA cB:sXB.
Is deefe een proportie, want de eerfte term A -f- B is éven zo veelmaal op n X A 4- n X B (waar voor men fchrijven kan CA + 6) X n) als als de derde term A op de vierde bXA, namelijk
(a) Veele andere proportien kunnen uit deefe gefielde afgeleid worden. Als daar is
i° A 4-B B = C + D : D uit de eerfte 2» A — B : B = C — D: D uit de tweede beide bij verwisfeling. Zie tj 670. De eerfte deefer proportien wordt gezegd, door zamenftelling der rédens (compojitionevel additioneratiinem a-ótSrim gemaakt te zijn, waar door Euclides V. Liber. def. 15 verftaat ,, de réden „ van de fom der voorgaande en volgende, als eene „ grootheid, tot de volgende *. De tweede proportie
wordt gezegd door lcheiding ot attreKKing van de reden gemaakt te zijn, dat in het latijn zeer oneigenlijk , en met den aart van griekfche woord A«/f£ In welke teller en noemer der Helkundige breuk
D C ——— door D, en die van de breuk ■ - door CXu DaL
C deelende ,iL ~ l en g£- S? gwordr, welke
gelijke waarden op hun plaats ftellende, deefe proportie voordkomt.
A • R =, J . L C * D
* Wij verftaan door het omgekeerde van een heel getal een breuk, waar van 1 de teller en zulk getal de noemer is: zo is \ het omgekeerde van 4;-* het omgekeerde van ? is |; van 3! of f is 4 enz. Vergelijk § 561.
Dit in aanmerking neemende, zal uit het zoéven beweefene volgen , dat als A : B omgekeerd is als C tot D, A tot B in de rechte réden zal zijn van het omgekeerde van C tot het omgekeerde ran D.
P: 9 ? $2
598 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
3°. Uit het zo éven beweefene, wordt ook het volgende zeer natuurlijk afgeleid
C E
a) Als A : B omgekeerd als « ; ;„ D r lb
D F
Zal A : B recht zijn als 7=; : w, 5) Als A : B recht is als ~ : 2
Zal A : B omgekeerd'zijn £ : £ *
~' 7' j* 7 enz. Dit fchrijft
men aldus (A, B,C,D,E, enz.) » / i» £» ~> 4 enz.)
a c
Want uit de onderftelling is^xA=-^XB.— Hier uit wordt gemaakt deefe proportie A: B = 2 : ~ss -p: 7 • § 686 en § 684 hier uit komt,door verwisfeling der rédens, A : -sB:-' § 670wé. derom is jXB=j X C, waar uit B: C=s j-
d f
- _5 _ : L , zie S 686 en § 684 en, doar verwis/s*
C ƒ /;«gder rédens, B: --53 C: j" §670 wéderom is
t X C »4xDen|xD s^XE, enz. uit welke
ƒ f 1
op gelijke wijfe gevonden worden C: Ds^u : _ ft ft
en D; E 7 enz.
De proportien, die wij uit de gelijke producten afgeleid hebben, zijn de volgende. Aii* B: £
c=4 = d: r
welke
UI.B.I.H. XXFIILL. Over de Meetk. Proport. 603
welke alle uic gelijke rédens beftaande, tot deefe aanééngefchakelde proportie veréénigd worden, dat is tot
^^#C:7^E:]Ben, dat is (A, B,C, D,E, enz,)- ft»:SUh~-> enz.)
\a e e g i
Dat te bewijfen was'
XVI. Over de zamengeflelde proportie en de Verklaaring der Spreekwijfen , die in derzelver befchouwing gebézigd worden,
a") Verklaaring van de zamengeflelde réden.
§ 689. Als men twee rédens 3 tot 4, en 8 tot 13 heeft, en de overéénkomltige termen deefer rédens met elkander verménigvuldigt, worden de réden van de produften 3 x 8 of 24 en 4 x 13 of 52 gezegd, zamcngelleld te zijn,uic de rédens van 3 toe 4 en van 8 tot 13. (a)
§ 69Ö,"
(o) De réden van 3 tot 4 wordt door * gemeeten en die van 8 tot 13 door De réden die uit 3 tot 4 en uit 8 tot 13 zamen gefteld is, namelyk 24 tot 52, wordt door gemeeten. Nu is }J. s J X Zo dat uien kan fteiien, dat de exponent van etne 'réden, 2a» mengefteld uit verfcheidene andere rédens, verkreegen wordt, als men de exponenten van de afzonderlyke ré*, deus met elkander verménigvuldigt. Als men gefchtee.
ven vindt deefe uitdrukking ~ = |Xj5X§' *an men
zeggen, de réden van P tot Q is zamengefteld uic de réden» van A tot B, van C tot D en van E tot F.
£4 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST;
§ 690. Een réden kan op veele verfchiïïende wijfen uit andere rédens zamengefteld zijn. i °) XTit twee of meer rechte rédens. 2°j Uit twee of meer omgekeerde rédens. 30) Gedeeltelijk uit rechte, en gedeeltelijk uic omgekeerde rédens.
Verklaaring.
a) Als men heeft deefe uitdrukking A: Bs CxD: ExF. wordt de réden A tot B gezegd zamengefteld te zijn, uit de rechte réden van C tot E en de reehte réden van D toe F. — Of anders A is toe B. in de zamengeftelde réden van C tot E en van D tot F.
en A: B = C x D x E : F x G x H hebbende, worde de réden van A tot B gezegd zamengefteld te zijn, uit de réden van C tot F, uit de réden van D tot G, en uit de réden van E tot H.
V) In deefe uitdrukking A: B ~<~D •*
wordt de réden van A tot B gezegd zamengefteld te zijn uit de omgekeerde réden van C tot E, en uit de omgekeerde réden van D tot F.
CE
c. Eene uitdrukking als deefe A: B ~ ~: -» hebbende , wordt de réden van A tot B gezegd zamengefteld te zijn, uit de rechte réden van C toe E, en de omgekeerde van D tot F.
b. Eigenfehappen van de zamengeflelde rédens.
% 601. I. Als A: B^CxD: Ex F S J en C: E sP: Q.
Zal men mogen ftellen , i datA: B =DXP: FXQ.
Want
IILB.I. H. XXVIII. L. Ov. de Meetk Propon. 605
Want C: E e P: Q (onderftelling.) dit met D: F a D: F vermenigvuldigd, is CXD: EXF t=PXD: QXF. (§ 6to.) nuis A: B=CXD: EXF, onderftelling. derhalven A: Ba DXP: F X Q. Zie pag. 591 in de noot.
Uit deefe eigenfchap kan de leer der valfche pofitien betoogd worden.
II. Als men heeft twee of meer évenrédigh'éden
A : B a % : % B : C a £ : C : D =3 <£ : f D : E a : $ enz. enz. Waar in de volgende term van de eerfte réden eener voorgaande proportie gelijk is aan de voorgaande term van de eerfte réden eener volgende proportie, zal de eerfte term van de eerfte réien der eerfte proportie tot, de laatfte der eerfte réden van de laatfte proportie zamengefteld zijn uit de tweede rédens deefer proportien ; dat is A : E == 2I[ x € x € x x f x ïf.
Want alle de overéénkomftige termen der gefielde proportien met elkander vermenigvuldigende, zijn de producten in proportie: dat is
AxBxCxD:BxCxDxEaSTx<£ x€x<6:95x^>xfxï?. § 6ho. in welke de voorfte termen of de termen der eerfte réden, elk door B X C X D deelende
A : E - SC X C X £ X^ : 23X© X f X ïf. ( § 676.) is
Deefe eigenfchap legt den grond tot de bewerking van den ketting-régel.
XVII.
€o6 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
XVII. Verklaaring van de meest gebruiklijkfte ipreckwijfen in de leer der proportien.
§ 692. I. Als men gefchreeven vindt deefe Helling A:BaC:D' wil het zeggen , dat A tot B is als het vierkant van C tot het vierkant van D, waar voor men in navolging van de ouden zegt, A is tot B in de verdubbelde réden van C tot D.
II. Deefe uitdrukking A : B =3 O : D' wil zeggen, dat A tot B is, in de réden van de derde raagt of de cubik van A. tot de derde raagt of de cubik van B. Dat noemen de ouden A is tot 3 in de verdriedubbelde réden van C tot D.
lil. Deefe Helling A : B 53 C* : D» wil zeggen, dat A tot B in réden is van de n& magt van C tot de n^ magt van D.
IV. Als A : B s= ~: is, wil het zeggen,
dat A tot B is in de omgekeerde réden der vierkanten van C en ö of in -de omgekeerde réden van het vierkant van C tot het vierkant van D of anders in de omgekeerde verdubbelde réden van C tot D,
V. Als A : B e= L : L} is, wil het zeggen
dat A tot B is in de omgekeerde réden der cuben van C en D , anders in de omgekeerde ver drie.» dubbelde réden van C tot D.
VI. En A : B ss 2p ~ zijnde, betékent het,
dat A tot B in de omgekeerde réden is van de ndt magten van C en D.
VII. Deefe uitdrukkiug A:Br=i/C:/D wil zeggen, dat A tot B is in réden van de vierkants-
III. B. I. H. XXVIÏÏ. L. Ov.de Meetk. Proport. 60?
kanis.wortels uit C en D : dat noemen de ouden in de onderverdubbelde réden van C tot D.
VIII. A : B c= Ve. C : Vc D zijnde , zege men A is tot B in réden van de Cubik-wortels uit C en D; — anders A is tot B in de onderverdriedubbelde réden van C tot D.
IX. En A : B 1= Vn> C : ]/». D hebbende, wil het zeggen A is tot B als de rJ« magts*wortel uit C tot de n^ magts-wortel uit D.
X. Voords zal deefe uitdiukking A : B e
-4- : _L betékenen, dat A tot B is in de omgei/d V\j
keerde réden der vierkants-wortels van C en D, of dat A tot B is in de omgekeerde onderverdriedubbelde réden van C tot d.
XI. Deefe A : B « ^ , ^ zal zeg-
gen: dat A tot B is in de omgekeerde rédens van de cubik-wortels uit C en D; of wel A is tot B in de omgekeerde onderverdubbelde réden van C tot D.
XII. Veele andere uitdrukkingen zijn 'er , die alle ui: de reeds verklaarde verftaan worden. — als
a) A : B =s V O : V D3, dat zeggen wil is tot B in de onderverdubbelde réden van de verdriedubbelde rédens van C tot D.
b) h:-: B-a O: D! dat zeggen wil de vierkanten van A en B zijn als de cuben van C en D.
f)A:Bs £-: ~ , dat zeggen wil, de
VU V V
réden van A tot B is zamengefteld uit de rechte réden der vierkanten van C en E, en de omgekeerde réden der vierkants-wortels uit D en F. Onnoemlijke andere gedaanten en zamenfiel-
lin«
6-o8 GRONDBEG. der CÏJFFERKUNST,
lingen der rédens kunnen 'êr ïn een proportie vallen , die onmogelijk alle op te noemen zijn : het bovenverklaarde bevat de meest gebruikelijk fte fpreekwijlèn, welke wel verdaan zijnde, van zèlven leeren , hoe men zich in alle andere gedaanren der proportien, behoorlijk uitdrukken moet. Wij Happen hier van de befchouwing der meetkunftige proportien af.-* Veel valt 'er nog te befchouwen, waar van wij niets gezegd , maar voor het onderzoek van den leerling overgelaaten hebben. Wij hebben hier een uitflaande tafel bijgevoegd, waar op in het kort alle de verhandelde eigeofchappen te vinden zijn. Deefe tafel raaden wij den leerling altijd voor oogen te hebben, en het ook bij het ééns of tweemaal leefen van deefè les niet te laaten berusten , aangezien iemand, die een kundig rékenaar worden vyil, de eigenfehappen der proportien tot een onderwerp van zijne geduurige overdenking ftellen moet.
XXIX. Les. Over de Meet- en Rékènkunfigè Reekfen, derzelver overéénkomjl met elkander- en over de Logarithmen, uit deefe overèénkomf ontfaande.
I. Wat Meetkunftige reekfen zijn, 'en hoé dezelve gevonden worden.
§ °93'
Als van eenige getallen A, B, C, D, E, F, G, enz. het eerfte A tot het tweede B ftaat, gelijk B tot de derde C: en B tot C sC:D,C:
D
Als
ta ppt Tégen over Pag. IA* EL, waar in men met een opflag alle de verhandelde Eigenfehappen der Proportien vinden kan, dienende om liet geheugen van den Leerling
in deefe zo noodzaakelijke kennis te gemoet te komen.
I. Aart der Proportien. - Voords A : B ~ C : D. VI. Hter zijn eenige Formulen, die den Leerling tot gemak kunnen
A : B =! C : D, is een Proportie En E : f =3 g : h Proportien zijnde, zijn ook de zijn, om te beöordeelen. of in den omgekeerden en zamengefteldeu
*i oAC^oB D. „ „ a R r Ti volgende Proportien: Régel van Drien ce grootheden tot elkander in eene recte of verkeerde
Als ï°2«ft0fao"a^ isoF3°£ B f 0 alsC=D. §> i°A x E : B x f — C x G : D x R7 « fiS proponie ftaan. *
—'•"— » o -rny A. Winst =3 Capitaal x Tijd x Interest'sjaars ten honderd, hier uic
II. *r ï* " A B. } $ «- .. £S£3Si delfde blijvend
Als i° A : B c3 C : D een proportie is, zijn ane de vozende — Winst évenrédig aan Capitaal x met tijd.
proportien: ' ° III. Aanééngefchakelde Proportien. & A!s de dJ'den §elijk- hlllv9ü'
a° A : C =3 B : D door verwisfeling van j^o Als A • B s= C • D a E f - T H x T K *« Winst évenrédig aan Capitaal X met per Cento 's Jaars,
1° n ' r ~ S : ad,°°r van No; Zal A+C+E + G+J :~B + D + f"+ H + K ~ A' B.'§ 63,. y" £S 06 f8^60 geliik. .blijve°- „ , T
o J : A door omzetting van jq© , ' ujj~ Winst évenrédig aan jyd x met per Cento sjaars.
5° C*: D a A : B door omkeering van jsj°' f -■ • — : C. /3;3. Tijd omgekeerd, ais Capitaal X per Cenro 's |aars.
~« het betoog § 669 c3? feq. en A • B - i . -ï £ Zie G 6<" - W* Per Cento 's Jaars omgekeerd t als Capitaal X Tijd.
y" An : Bn =3 C : D ™ CD J °D"
io° A : B =3 Cn • Dn l o° Ak A • n ~ ^ . E Dezelfde betrekkingen kunnen ook uic de vo'gcnde Formulen gehaald
ii° An : B Cn : D ' ~ O' F worden.
13 0 A^n r^Zn^a C " D \ Zie § 676 &> fe^ zal A : B omgekeerd zijn als 2 : E? zie § 685. pag. 580/ B. Prijs van een Brood a Prijs van I Last x hec gewigtvan hec Brood.
Ï4° A ": B =3 C*rn : D-4-n. I C w Inhoud van een lichaam ^3 lengte X breedte x hoogte.
I50 A-r n : B~a C~n D 1 3° AlsA: Ba :__iis D. Weg die iemand reist — aan tijd X Weg in een bepaalden tijd.
ï6° A ': B ~n a C :" D*H-n» J p ^ E. Verdienften =3 Werklied. X Kragten van één Man x met tijd,
17° An; B =3 C : Dia * 1 „ , zal ook A : B a - :-P, zie na» r! " a : r » *' !; I ' n en /' .1S SfHJk 880 wédero'm anderen afgeleid wórden, — Vr zijn toe dat einde geen andere
»• üb ; c;g s AiBcrc-D D> ^Sö/^iitS™^^^72- **?>™* u,è*>*f.
«o' a j.p . pin a o L c a m u ?. „ CUY , giootneden i behalven dat men weeten moet, dcc m deefe Schets het 1 éken =3 be-
5 =3 ^ : R / ,o De tSf J ^ b" VIerkas!£ ^ 3.g^eld door A, $ 674. tékenen moet aan. De eerfte Formule A betékent dus:
24° A+C I iln ^ a ! 5 3 C^ D i 5 a ™ ;f^:»% tusfchen twee grootheden ^ „De winst is évenrédig aan Capitaal, Tijd en Interest ten honderd
f n+i . a-c : B-D ƒ met B f 6 ^ dC' vierkants•worrel «" A vermenigvuldigd „ Jaars met elkander vermenigvuldigd:'
UI.ÈJ.H.XXIX.L. OverdeMeetk.Reekf. 6o9
D a D : E enz. —- of waar van elke term door de onmiddelijk daar op volgende gedeeïd zijnde, overal het zelfde quotiënt komt.
§ 694. In eene meetkunftige reeks hangen alle de termen. hoe veele "er ook zijn, van de twee eerften af, die men naar welgevallen neemen kan en welke gefield zijnde, dienen kunnen, om dé reeks zo verre voord te zetten, als men goedvind of tot zijn bijzonder oogmerk nódig heeft: want twee getallen 2 en 4 tot de eerfte termen of léden der reeks (lellende, zal de derde term de derde évenrédige tot 2 en 4 zijn, welke (Zie § 674 ) gevonden wordt, door het vierkant van den tweeden term door den eerften te deelen, zijnde dezelve w 4 X 4 -f- 2 as 8; als men nü voords in aanmerking neemt, dat elke term van de reeks een derde évenrédige tot de twee voorgaande is, zai men gemaklijk de vierde en volgende termen kunnen berékenen. Want de vierde =j 8 X 8 *f- 4 — 16; de vijfde == 16 X 16 -f- 8 8 sa 32 ; de zesde = 32 X 32 ~ ,16 es 64; de zévende — 64 X 64 -v- 32 128, enz. — Zo dat wij door deefe rekening een meetkunftige reeks Verkreegen heb, ben, die men aldus met dit téken ~ fchrfft
~ 2, 4, 8, 16, 32, 64 , 128, 256, 5I29 1024, 2C48, enz.
Een meetkunftige reeks, alhoewel uit een bepaald getal termen beftaande, kan voor en agterwaards, zonder ophouden worden voordgezet; dat is te zeggen, in de boven gevondene reeks volgen op de laatfte term 2048 een onbepaald getal andere, 4096, 8192, 8192, 16384, enz, die geduurig grooter worden, en in welke men nooit tot een laatfte term komen kan; zo ook, zijn de.
R. r c'v>
610 GRONDBEG. der CIJFFËRKUNST.
termen welke in de reeks de eerde term 2 voorgaan enz, van agter af te rékenen
I 1 1 l; ~_t li I I_ t • •
25ö' 128» 6Ï' 31' 16' 8~' T' 2 ' 1 "
die geduurig afklimmen , zonder ooit tot de kleinfte re komen. Elke meetkunftige reeks heeft dan een oneindig getal termen, naar de eene kant opklimmende eh naar den anderen kant afdaalende, zo dat de fpreekwijs een meetkunftige reeks van zo veel termen, moet verftaat: woiden van zo veel termen Of getallen uit een meetkunftige reeks genomen.
Men onderfcheidt de meetkunftige reekfen in opklimmende en afdaalende.
Een opklimmende, toeneemende of aanwasfende reeks is, als de getallen of termen of léden van vooren naar agteren geduurig toeneemeu; gelijk f-r 3, 6, 12, 24, 48, 96, enz. —
Een afdaalende , afklimmende, of afneemende reeks, in tégendeel is , als de termen van zulk eene reeks geduurig van vooren naar agteren, minder worden; gelijk deefe
r~ 18, 9, 41, 2;, ij, if, 3I, 4 enz.
II. /iföfi cefl Meetkunftige reeks algemeen uitgedrukt wordt.
% 695. In een meetkunftige reeks is de natuur en opvolging der termen afhanglijk van de exponent of aanwijfer der reeks, waar door men verflaat het getal dat 'er komt, als een volgende term gedeeld wordt door een term, die ommidiijk voorgaat: zo is in de reeks ~ 3, 6 , 12, 24, enz.: de exponent =s § s= 'f e. £ enz. k 2.
In
lil. B. 1. H. XXIX. L. Over de Meetk. Reekft 61 f
In de reeks fv 18, 9, 4' , ij enz, is de
9 4'
ponent ~ ~ ~ a enz, tr -
l8 Q
Door deefe exponent kan men langs een gantfch korter manier dan boven opgegeeven is, eenige reeks in getallen opftellen; want men ftelt maar een getal tot begin van de reeks, bij voorbeeld 16 en neemt een ander getal , bij voorbeeld 2 voor de exponent, dan moet men om de termen, die op 16 volgen, te vinden eerst 16 met de exponent, en voords elke nieuw komende term wéderom met de exponent verménigvuldigen, om de volgende te hebben. De termen die 16 volgen zullen zijn 16 X 2 ss 32, 32 X 2 s; 64; 64 X 2 =3 128; enz.— en om de léden te vinden, die 16 voorgaan, moet men eerst 16 en voords elke nieuw bekomene rerm door de exponent 2 deelen, wanneer de volgende termen zullen zijn 16-7-2 S3 8; 8—-2 1=4,- 4-4-2 a 2j i4*ï ts 1; i 4-2 cj enz. (a)
Als wij dan deefe exponent in het gemeen r
noemen en ftellen dat A eenige term van een
meetkunftige reeks zij, zullen de termen die op
A volgen, rijn
~ Ar, Ar-, Ar3, Ar*, Ar5 enz. «—•
en de termen die voor A gaan, zullen zijn
A A A A A enz. —5 —■ > , — , —1 —
r5 r4 r1 i* r
Zq
(a) Er is nooit een laatfte of grootfte term: want laat 'er een term zijn, die zeer groot is, dan zal deefe met den exponent verménigvuldigd, nog een volgende geeven, die wéderom een volgende hebben zal; het zelfde is te verftaan van de kleinfte termen, die naar vooren afklimmen., dewijl elke term, hoe klein zij,ook zij, door de exponent gedeeld zijnde, een volgende geeft, die wéderom kleiner is, Rr %
*i2 GRONDBEG, der CIJFFERKUNST.
, . .. A A A« A A (iö dat 77 - ) - , - j - > -h , A, Ar ,
r5 r* r% r- r 7
Ar, Ar1, Ar?, Ar1, enz. — in het algemeen een meetkunftige reeks is.
In deefe algemeene uitdrukking , kannen voor A en r alle getaiien , heele , gebrokene en gemengde gefteld worden, waar door men geduurig andere en andere reekfen zal hebben, waar bij op te mei ken is, dat indien voor r een heel of gemengd getal gefteld wordt de reeks toeneemend en voor r een gebroken getal Hellende de reeks afneemende zal zijn
Dewijl dan deefe algemeene reeks alle mogelijke reekfen, die in getaiien kunnen gegeeven worden ir.fluit, mogen wij veilig vast fteilen, dat alle de eigenfehappen, die aan deefe reeks eisen zijn, ook behooren zullen tot alle de rueetkunfhge reekfen, die in getallen kunnen gegeeven worden.
III. Algemeene Eigenfehappen der meetkunflige reekfen.
§ f96. I. Als men in de algemeene uitdrukking
A A -AA.» a a
~4» ~3' *p* A, Ar, Ar, Ar', Ar>, Ar
enz.
de term A ftelt voor de eerfte, dan zal de n h term in de opklimming agterwaards zijn Arn-' en de
A
nie term in de afklimming voorwaards zijn — *
het welk daar uit wordt afgeleid, dat de exponenten der magten ,■ waar mede r is 1 an edaan / altoos één minder zijn* dan het getal vsn den rang van ztilk eene term.
§ 697
T
///. H.XXIXL. Over de Meetk. Reekf. 613
§ 697, II. ,AIs men van eenige termen eenec meetkunftige reeks, elke voorgaande term van zijne volgende, in een opklimmende, en elke volgende term van zijn voorgaande in een ai klimméfsde reeks afbekt, zullen ook de agcervolgende resten de rermen van eene andere meetkunflige reeks zijn, doch die met de gefielde de zelfde exoonent heeft
Meetk. reeks. \ Verfchillen in een meetk. reeks A -f- r- der léden
A -~ r x -l-t-A—r'aCAr-A) ~ r A A-A-f-r - (Ar—A) -f- r
Ar | Ar —A fc Ar—A A r2 Ar' -Ar B (Ar~A) X r A r; Ar» -Ar ~(Ar-A; X r= Ar1 Ar ~Ar t=(ArW0Xf. . enz. enz. enz.
In getallen ~ 1,3,9, *7, 81,743,729,
Verfchillen H 2, 6, 18, 54, 162, 486, 3468, —-
§ 698. HL Als de termen van een meetkunftige reeks, elk met het zelfde getal verménigvuldigd of door het zelfde getal gedeeld worden , zullen de produéïen en quotiënten ook in een meetkunftige reeks zijn, het welk blijken zal, als de termen van de algemeene reeks
A A A
"f3' 7a' 7' A' Ae' Ar» Ar!> Ar"enz-
elk met n verménigvuldigd of door n gedeeld worden, wanneer 'er komen deefe twee reekfen An An An r3> r2' TJ » r Anr J Anr3» Anr »
enz.
Rr 3 en
6i4 GRONDBEG. der CïJFFERKUNST.
Ê A A A A A Vr A w3 A v en—, —2» , —, — Xr, — Xr%— Xn, nrJ nr nr n n n n
AXr , enz, si
welke, gelijk klaar te zien is, meetkunftige reekfen maaken.
* Als men de termen van de algemeene uitdruk, king , voor dè meetkunftige reekfen aangenomen, door A deelt, zijn de quotiënten i i i r
"r ' 7 ' 7' 7' T» r' rYrJ> r'f!
in eene meetkunftige reeks.; dit leert ons, dat de agtervolgende magten, van een getal een meetkunftige reeks mifaken.
§ Ó99. IV, Als men twee of meer meetkunftige reekfen onder elkander ftelt, en de overéénkomftige termen met elkander verm énig vuldigt of door elkanderdeelf, zullen de produclen als ook de quotiënten een andere meetkunftige. reeks maaken. Öbk zullen de tweede, derde en vierde magten, als ook de tweede en derde enz. magt-worttls uit de termen van een meetkunftige reeks insgelijks tot een meetkunftige reeks behooren.
Want als men twee meetkunftige reekiên ftelt, te weeten
rïA, Ar, Ar\ Ar\ Ar\ Ar', Ars, enz.
A, Ar, Ar-, Ar», Ar4, Ar5, Ar% enz. zijn de producten der overéénkomftige termen H AA, AArv, AArV, AAr-t- , AAr'x*,
AAr5r, AAtV enz. ——
als ook de quotiënten.
I. £.111H. XXIX. L. Over de Meetk. Reekf. 615
zo als uit de producten en quotiënten van zeiven blijkt in proportie.
Het zelfde zal blijken als men de termen van een der reekfen, ftel bij voorbeeld de eerfte tot eenige magt verheft of eenige magts-wortel uit dezelve trekt.
§ 700. V. Als de grootheden ~ A , B, C, D,
E, F enz. in eene meetkunftige reeks ftaan en tus* fchen de eerfte en tweede A, B; de tweede en derde B en C, de derde en vierde C en D, enz. de meetkunftige midden évenrédige i/AB , i^BC, vCD, v/DE enz. gefteld worden, zijn deefe A, ✓AB, B, i/BC, C, VCD, D, VDE, E,*/EF,
F, v7FG, G enz. in een meetkunflige reeks. —— en elk begrijpt Iigtelijk, dat in deefe nieuwe reeks tusfchen elke term op nieuw midden-évenrédige gefteld kunnen woiden, die met de termen deefer reeks in een meetkunftige reeks blijven.
§ 701. VI. Als men eenige termen uit een meetkuoftige reeks opftelt, is het producl der eerfte en laatfte term gelijk aan het product, van twee termen die éven verre van de eerfte en laatfte afftaan.
123 45 67
Want ftel — A, Ar, Ar', Ar', Ar\ Ar6, Ar6 dan is het produel: van de ifte en 7de term 1=2 A X ss Axr*
van de tweede en zesde sa Ar X Ars ss A* rs
van de derde en vijfde fca Ar X Ar* aA* r6
van de vierde en vierde sa Ar X Ar% ts A* rr'
dat is het quadraat van de vierde.
Waar uic dan de waarheid van het gefielde overtuigend blijkc,
R r 4 In
f16 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
In getallen K7, 14,28,56, 112, 224,448 56 28 14 7
* ™(°dlt?en 3i3^»3i36,3i3ó,3i3ö
$ 702. vil. Als men eenige'termen van een meetkunftige reeks ftelt, ftaat de réden van de eerfte tot de derde term in de verdubbelde réden van de eerfte tot de tweede; de réden van de eerfte tot de vierde }n de verdriedubbelde réden van de eerfte top de tweede; de réden van de eerfte tot de W* term als de n—i magt van de eerfte tot n— 1 magt van de tweede term.
Want haten wij deefe reeks
A, Ar, Ar* , Ars, Ar4, Ar5, Ar* ftellen, dan js het klaar, dat
ï°) A : Ar~ s A x A : A x Ar2 om dat de twee eerfte. termen A en Ar* , elk met A verménigvuldigd zijnde, de derde en vierde termen van de proportie geeven. Zie § 668. Hier uit blijkt dan , dat de eerfte tot de derde term ftaat ais het vierkant van de eerfte tot het vierkant van de tweede , het welk door de bewoording van de verdubbelde réden van de eerfte tot de jweede term te kennen wordt gegeeven. 2°. A : Ars t= A2 x A : A2 x Ars
dat is A : Ars 1= ( A > : (Arjs 3°. A ; Ar* e ( A> : (Ar 14 „ 1. 4°. A : Ar» s= (A> : (Ar> d het welk op dezelfde aangeweefene gronden berust.
§ 703. VIII. Indien men uit een meetkunftige reeks een zéker getal termen neemt, ftaat de fom van alle de termen min de laatfte tot de fom van alle de termen min de eerfte, gelijk de eerfte tot de tvyeede term.
'Want laat gefteld worden, dat de getallen A, B, C, C, D , E, F, G in een meetkundige
reeks
III. B. I. II XXIX.\L. Over de Meetk. Reekft 617
reeks zijn, dan xijn A : BsB:CsC:Ds D : E ~ E, : F F : G. § 693, in eene aanééngefchakelde proportie, Nu zijn ia alle aanééngefchakelde proportien, de fom van alle de voorgaande tot de fom van alle de volgende als eea \oo gaande tot zijn volgende: dat is
A+B + C + D + E + F: B + C + D+E + F + G ss A: B. vergelijk § 683,
Dat te betoogen was.
IV. Hoe de Som van eenige termen eener meetkunflige reeks gevonden wordt.
§ 704. Het is zeer noodsaaklijk, dat men weete , hoe zonder daadlijke optelling de fom van eenige termen eener reeks gevonden wordt, naardien 'er voordeel en gemak voor veelerlei berékeningen uit kan gehaald worden en het tévens den toegang tot veele aartige vermaaklijkheden ontfluic. — Om deefe fom te vinden, moet men bekend hebben de eerfte term, de exponent der reeks en het getal der termen. Als men ftelt voor de eerfte term A, de tweede B de laatfte L de fom x — dan is de fom van al de termen min de eerfte rz: x— A, die van al de termen min de laatfte cs x — L, en nu is x — L : x —- A ca A : B. (volgens het beweefene in de agfte eigenfchap. Uit deefe proportie komt deefe vergelijking
Bx— BLcAï-A2
derhalven Bx — Ax a BL—- Az
, B L — A3 dus x ~ .
• v;~ B — A
Dit leert ons, dat om de fom der termen te vinden „ de tweede met de laatfte term verméR r 5 1 „ nig.
618 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST;
„ nigvuldigd, van het produel het vierkant van „ de eerfte term moet afgetrokken wordenden de „ rest gedeeld door het verfchil van de twee eer„ fte termen. "
Voorbeeld. Laat gegeeven zijn de fom van deefe reeks 2,6, 18, 14, 162, 486, 1458, 4374 » 13122 te vinden? Hier is A es 2 , B
~6,La i3i22,derhalvenx e= 6xi3I22~2X2
- -78732—4 78728 2
— . ~ ^ 1968a =3 de fom
4 4
van alle de léden der gegeevene reeks.
5 705. Als men voor de meetkunftige reeks deefe algemeene uitdrukking ftelt.
A, Ar, Ar3-, Ar3, Ar*, Ars, Ar* enz. dan zal het getal der termen t= n ftellende, de laatfte term zyn s= Ar»-r, het product van de tweede en laatfte zal zijn Ar X Ar«-i =- A-m het vierkant van de eerfte A2 , dit gefteld in de gevondene formule, zal voor voor de fom van n termen van de reeks A, Ar, Ar2 enz. deefe uitdrukking komen
A2 X r» — A2 Ar — A
Welke breuk, indien teller en noemer door A gedeeld wordt, in deefe veranderd
rn—i
A x
r—'i
zijnde de algemeene uitdrukking voor de fom van n termen van een meetkunftige reeks die met A begint en waar van de exponent r is.
* * Deefe uitdrukking is in de berékening van veel zaaken béter dan de eerfte § 704. gevonden
$ 706"
III. B. LH. XXIX. L. Over de Meetk. Reekf. 6,9
§ 706. Uit de formule, § 704. gevonden, kan afgeleid worden, hoe grcoc de fom zal zijn, indien het gantfche getal termen van een afklimmende reeks bij elkander genomen wordt.
Stel om deefe fom te vinden, deefe reeks A,
é, A . é. , A enz. — welker termen telr ' r- 9 r s * f* 9
kens kleiner worden en tot in het oneindige voordgaan , dan zullen zij eindelijk zeer klein worden en men zal, fchoon eenigermaate oneigenlijk, kunnen zeggen, dat de laatfte term s o is; dus zal in de formule
B L—A2 _A*-BL X ~ B-A ~A -B
Leo zijnde, ook B L m o zijn, en de waarde voor de fom der oneindige reeks zal zijn.
A2 _ r A2 _ A_ A * ~ A —A ■"" rA— A r—i ~ r r—i r
Voorbeeld. Stel dat A a f5, r t= 3 zij, dan is
23 t>
de fom van 6 , 2, —<» ^ enz. — 3X —
3 9 3-3*
3X3^9. 1 Meer Voorbeelden.
a) 7 +Z + Z+ Z+Z + 7 + JL *
3 9 27 81 243 729
3 X — ~ — s3 io'.
3— 1 2
iïii„ ^ V
_ 4- - 4- - 4- -4- 5 &c. B I. f>)
J 2 4 8 16 32 64128 V '
V.
(3) Zulke reekfen worden oneindige reekfen genoemd, "nj,zijn van veel nut in alle deelen der Wiskunft,
c?2o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
V. Over de Rekenkundige reekfen.
§ JC7. Een Rékenkunflige reeks bedaar uic een menigte van getaiien die of toe of afneemen , en waar van het verfchil van twee op elkander volgende termen overal het zelfde is. Zodanige réüenkundige reekfen zijn en worden dus gefchreeven
30, enz.3lL' lS) ï9i 23' 27' 3r> 35,
63^. lïl 961 92 > 88' 8*> 8o> 76> 7*> de eerde waar in de termen geduurig grooter worden, wordt een toeneemende, en de tweede waar in de termen geduurig kleiner worden, wordt een afneemende reeks genoemd. * De natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4 _ 6
g^^^,9en,znn dus ook in een
§ 708. Een ïékenkundige reeks wordt gevonden als men bij een getal 1?9? eenig getal 5 b j voorbeeld herhaaling optelt of bij heïhaaling aftrekc naar dat men een opklimmende of afklimmende reeks vormen wil. (h) «««^e
bij
« Er zijn onder de WTskuMenaars drie foorten van proportien te weeten. de Meetkmfligf,liSunll'Ji en Harmomfche pnpmie: de eerfte beftaat , zo ajT wf fn de voorgaande Les aangetoond hebben, u de geiilhe d der verhoudingen van eenige getallen , twee aan twèe genomen; de tweede of de rékelku»fti§s u tde geliikhdl der verfcMlen van eenige getallen 5, Toen 17 J m« aar, twee genomen,- als namelijk de twee eerfte JètE 7 en 5 éve„ zo veel verfchillen als de twee laaS 10 cn ,7, dat men gewoon, is dus uit te druE ?: 5 19: i?
en
III. B.I. Ê, XXIX. L. Over de Rêkenk.Reekf. 6i x
... 179, 184 ï89 194 199, 204, 209 5 5 5 _J> __S _5 __5
184, 189, 194» 199, 204, ao9, 214 enz.
een opklimmende reeks. 179, 174 169 164 '59 *54> 149 enz5 5 5 5 1
~- 174, 169» 164, I59>!54» H9» *44 enz> een afneemende reeks.
VI.
en te noemen 7 is tot 5 in de rékenkunflige réden vrn 19 tot 17, welke rékenki hfti s proportien met de meetkunftige daar in verfchiHe.. uat t) in de meetkundige de eerfte term gedeeld door de tweede, het komende quotiënt gelijk is aan het quotiënt van de de.'de term gedeeld dbor de vierde, terwijl in de rékenkunflige het verfchil van de twee voorfte termen gelijk is aan het verfchil' van de twee laatfté. 2) In de meetkunftige proportie is het product der uitterfte termen gelijk aan het product der midddflen ; maar in de rékenkunflige proportie^ is de fom der uitterfte termen gelijk aan de fom der mkldelftsn. 3) Om een meetkunftige vierde évenrédige tot drie getallen te vinden, moeten de twee agterfte getallen met elkander gemultipliceerd, en het komende product: door de voorfte term gedeeld worden, maar om tot twee getallen een vierde rékenkunflige évenrédige te vinden moeten de twee agterfte termen te zamen opgeteld en
van de fem de voorfte term afge;rokken worden enz
uit al het welk men ziet, dat de meet- en rékenkunflige proportien twee van elkander verfchiïïende dingen zijn.
Pe meetkunftige proportie ontftaat dus uit de gelijkheid der quotiënten, en de réketikilnftige uit de. gelijk, heid der verfchillen : deefe tweeërlei proportien zij.i tweeërlei wijfen, op welke drie cf vier getallen rott elkander overéénkomen, en de proportien uit dit oogpunt befchouwende, kan men de meetkunftige proportie over éénkomft door gelijke quotiënten en de rékenkunfige pro. portie. overêénkomft door gelijke verfchillen noeimn.
De rékenkunflige proportien zijn in vergelijking van de meetkunftige het zelfde, dat de rékenkunflige reekfen
©22 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
VI. Hoe een rékenkunflige reeks algemeen uitgedrukt wordt.
% 709. Een Rékenkunflige reeks kan dus be. greepen worden van de twee eerfte termen af te hangen , of liever van den eerften term en het geduurig verfchil; zo dat, indien men voor 'de eerfte term A en voor het geduurig verfchil V ftelt, de algemeene uitdrukking voor een toenee. mende reeks
A+'5AvU',A + lV'A+3V'A + *V'
en voor een afneemende reeks
A, A -V, A ~2 V, A ~ 3 V, A ~ r V enz. wordt. 0
in
fen in vergelijking van de meetkunftige zijn, het reen
l°S,k aar^ brllJieVa/' als wiJ' ^ het 'vervolg van deefe les, deefe beide foorten van reekfen ténPn pU-,1
der vergelijkende, bevinden zullen, dat 35 elkander* op dezelfde wijs overeenkomen als de \™e^Zldl twee foorten van proportien. Bovengemelde Nog met een woord of twee over de Harmonifche proportie, waar van wij zoéven fpiaken. __Drie: °e t a, B en C maake» .een-Harmonifche proportie ^ het eerfte A tot het derde C ftaat als het verfchfl' van «ff twee eerften tot het verfchil der twee Jaatften, dat is als
-r"T ~ •: 1 T°- ^iergeta|Ienzijnin een Harmonifche proportie als het eerfte tot het vierde ftaat PeUik het verfchil der twee eerfte tot dat der twee laatfte zd z n A, B, en DHarmonisch évenrédig als A :D — A — B • C ~D. Er zijn ook Harmonifche reekfen: A, B C D F F enz. maaken een Harmonifche reeks uit, als''er' devól. gende betrekkingen in gevonden worden- A ■ C = A — B : B — C; B : D = B — C : C — D • C • E = C — P • D — Ei D : F == D — E :: E _ £ enz Deefe Harmonifche proportien en reekfen in de Natuurkunde en de in de i^Iuiiek van veel gebruik.
III. B. LH. XXIX. L.Over de Rékenk. Reekf. 623
in welke voor A en V alle getallen naar welgevallen kunnen gefteld worden en dus deefe algemeene uitdrukkingen alle de algemeene reekfen voor oogen ftellen, die bij mogelijkheid in getallen kunnen gegeeven worden.
* Al het geen derhalven aan deefe reekfen eigen is, kan men begrijpen ook eigen te zijn aan alle reekfen, die in getallen gegeeven kunnen worden.
VII. Eigenfehappen van de rékenkunflige reekfen.
§ 710. I. Als A de eerfte term is, V het verfchil der termen, dan zal de waarde van de term der reeks voor een opklimmende zijn, A -f(n— i)xV; voor een afklimmende, A <—• (n—1) X V. Het welk gemaklijk te zien is ; want de waarde van de tweede, derde, vierde, termen, A + V, A +2V, A ±3 V enz. zijnde, ziet men, dat in -deefe het verfchil V met een getal moet verménigvuldigd worden, dat altijd één minder is , dan het getal dat aanwijst de hoeveelfte term van de reeks men beeft. Zo dus de eerfte term A ~ 19» het verfchil V != is 7 en men weeten wil, wat getal de 1 o term weefen zal, ftelt men dezelve gelijk 19 -f (10—ï) X 7 = '9 + p x 7 s 19+63 ö 82 de tiende term van 19, 26 enz.
§ 711. II. Als men bij elk der termen van een rékenkunflige reeks het zelfde getal telt of van dezelve het zelfde aftrekt, ot elk derzelven met bet zelfde getal multipliceert of door het zelfde getal divideert, zuUen de fommen, verfchillen, producten en quotiënten, ook eene rékenkunflige reeks uitmaakeh.
è*24 GRONDBEG. der ClJFFERKUNSl*.
Std{J723' o9' "* 2I' 27' 33' 3°. 45, Si, 57 eni
tel DIJ 2, o, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 -
treKat 4, 4, 4) 4> 4; „4> ^ 4> 4> ^ komt -V- r, 7, j3) I0 2J 3r 4Q~777n7
deeTdo'or^'7? I3°-'*9^~°^°> 4~4^75^ent oeei door j;, 5, 5, 5) 5) s> s< 5j g> g
komt-^- 2,14, 26, 38, 50, 52, 74, BdTlsJToInT.
§ 71a. III. Als men de overéénkomfh'ge termen van twee rékenkunftige reekfen bij elkander telt of van elkander aftrekt, zijn de fommen en vericmllen de termen van een andere , rékenkunflige reeks: gelijk hier te zien is„
8> *5, 22, 20, 3Ö, 43, 5o, 57, 64 euz.
28' 3?. 46,177677^7171^:
A) 36, 48, 60, 7,2, 84, 96, 106, 120 enz.
Zf - 12, 16, 20,24,28, 3^36^40^4 eni
komt 12, 20, 28, 36, 44) 52, 60, 68, 76~e~Z'.
Men kan deefe, gèlijK ook de voorgaande eigenfchap , door de algemeene aangenomene reeks betoogen
§ 713. IV. Als men tusfchen elk der termen ▼an een rékenkunflige reeks en rékenkunflige midden évenrédige ftelt, (waar door men verftaat een getal, dat zo veel grooter is dan het kleinfte als het grootfte grooter dan het zelve is, en dat gevonden wordt door de twee getaiien optetelien en van de fom de helft te neemen) zullen alle deefe termen met hunne rékenkunftige mediums of mid-
derj.
l& B. F. H. XXIX. Les Oi>. de Rékenk. Reekf. 623
denévenrédige een rékenkunftige reeks uitmaakeó, deefe reeks itellende
— 3 , 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 enz. ■ is -V- 3, 44» 6,7", 9, ioj, 12, 13Ï, 15.16^ enz,
In welks 4! de rékenkunftig middenéveniédige is tusfchen 3 en 6; 7\ tusfchen 6 en 9 enz.
§ 714. V. Als eenige getallen ih een réken, kunstige reeks zijn , is de lom van de eerfte en laatfte term zo groot als de fom van twee termen'i die éven ver van de uitïerftens afftaan. Bij voorbeeld Iri 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76 tel bij . . k , 44 36 28 20, 12
fommen 88, 88, 88, 88, 88 /. Het kan ook uit de algemeene uitdrukking op de volgende wijs opgemaakt worden.
eerftè termen. A4-3V, A 4- '2 V, A +V , A tel bij de laatfte termen. A+Tz^.V, A4-«^3~. V, A4-«^2.V, A4.«-7TV
fommen 2 A 4-«-1. V, 2 A+»-1. V, 2 A 4-1. V, nA4«^I.V
Waar uit blijkt, dat het gefielde aan alle rékenkunftige reekfen eigen moet zijn.
VIII. Hoe de fom der termen van een réken» kunfiige reeks gevonden wordt.
1 § 7X5- Beefe eigenfchap der rékenkunftige reekfen brengt ons tot de oplosfing vari deefe vraag: hoe zal men de fom der termen van een rékeakun-. ftige reeks, buiten de gewoone optelling,;vuidën? Laat ons om deefe te beandwoorden ftellen, dat Ss 4
6*6 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
A., B, C, D, E, F, G, II, I in een réken, kundige reeks ftaan
aj Als men nu de fom der drie termen A ^ B, C wil hebben
ftek men A+C == 2 B (§ 714) derh. | (A4-C) = B tel bij A4-C s A4-C
komt ï\ CA4-C)^A4-B4-C b) Als men de fom der vier termen A, B, G en D wil hebben, telt men bij A4-D es B4-C (§ 7H>) A+DsA+D komt 2, fA-r-O) =A + B4-C4-D s) Om de fom der vijf termen A, B, C, D, È te vinden, ftelt men
A4-E s= B + D^| A4-E ssA+E f- volg. § 714. | (AH-E-> = C J dit oprellende is
2;(A+E) - A+B4-C+D+E Instel: ïs 3 CA4-F) = A+^+C+D+E4-F
31CA+G) ^A4-B+C4-Ü+E4-F4-G 4 CA+H)s:A4-B4-C+D+Ei-F4-G + II enz. enz. Uit deefe berékening blijkt, dat de fom van drie* vier, vijf, zes, enz. termen van een rékenkunftige reeks, gelijk is aan de fom van de eerfte en laatfte termen, verménigvuldigt met i;, 2, 2!, 3, 3S enz., welke getallen juist de helften zijn van het getal der léJen , waar van de fom berékend is; dewijl men nü zulks, hoe veele termen men ook neeme, waar bevinden zal, hebben wij deefen aégil. „ Dé fom der termen van een Rékenkun„ jlige reeks, wordt verkreegen, indien men de
„ laat.
III. B. 1.H. XXIX. Les Ov. de Rékenk'Reekfi 627
„ laatfte en eerfte termen optelt en de fom ver„ ménigvuldigt met de helft van het getal, dat „ aanwijst, uit hoe veel léden de reeks beftaat:'' Voorbeeld de fom van 1 + 7+ 13 + 19 + 25 + q 1+37 + 43+49. (een reeks uit négen termen beftaande.j te vinden?
eerfte term 1 laatfte term 49
fom van de eerfte en 50 laatfte term
verm. met 4!- (gelijk, de \ van 9)
225 fom der termen. Öp deefe wijfe kan men ook vinden de fom van alle de natuurlijke getallen van r, bij voorbeeld, tot icosoo; want de natuurlijke getallen in een ré. kenkunftige reeks zijnde, is 1 de eerfte, en iooooo de laatfte, en icoooo bet aantal der termen, ge. volgelijk werkt men aldus: de eerfte term 1 de laatfte iooooo
100001 (der termen verm. met 50000 de helft van het getal
5000050000 de fom van al de getallen van 1 tot iooooo.
§ 716. Als men dit voorfchrift gebruikt, om de fom der termen van een rékenkunftige reeks te vinden, moet men de eerfte en laatfte term ben évens het getal der termen bekend, hebben, maar deefe bekendens zijn niet altijd, gegeeven: drie dingen moeten évenwei van een rékenkun8 s 3 ftigf
*2« GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
ftige reeks bekend zijn, zal men de fom behoorlijk vinden.
Wij ftellen dat gegeeven is de eerfte term A, het verfchil V, en bet getal der termen a n: dan wordt de laatfte term door deefe formule A 4- (n~t) x V als de reeks opklimmend en door A — (n — i) x V als de reeks afneemehd is, uitgedrukt; dewijl nu de fom der termen volgends % 715. gelijk is' aan de fom der uicterften verménigvuldigd met de helft 'van het getal der termen, zal men bij
A de eerfte term
teilen A + («—1) X V de laatfte term komt 2 A + («—1) X V de eerfte 4-de laatfte dit moet met \ n (de helft van het getal der termen), verménigvuldigd worden komt n X A + »Xr>— l)y y voor de fom
2 . ' der termen. ^ NB. Her téken-f moet in een opklimmende en het téken— in een afnvemende reeks gebruikt worden. Voorbeeld re vinden de fom van 2 r rery;ze» ee« opklimmende reeks, w^w- 7 fcr« en 9 ^e; verfchil «? De gegeevene getallen met de algemeene uitdrukking vergelijkende, isA s/, V ss 9, « — 2It As 7 » e 21 1 Vt=0 « ss 21 «—1 ss 20
—es 210
2
n A ts 147 »(«-i>s:42o'. _ ,
«(«-0=210 — ~ V ss 1800
—' 2
1 2 «XA a j47
»XA+"--"*^X V ssip37defom 2 *
§ 717.
IIIB. I. II. XXIX. L Overêénk. der Reekf. 629
§ 717, Veele vraagen kunnen ever de rékenkunflige reekfen worden voorgoftcld, welke wij alle flilzwijgend voorbij gaan, als ook, hoe uic de fommecring der rékenkunflige reekfen de figuur, lïjke getallen als de Polygonaal, Columnaar, Per* go'iiiaal, Piramidaal- getallen en derzelver oneïnc;ige gefkchten geformeerd worden , over welke getallen, wij in de Verhandeling over de Algebra uitvoerig zullen fpreeken.
IX. Overéénkomft, die de Meet- en Réken, kun/lige reekfen met elkander hebben.
§ 718. Als men een meet- en rékenkunflige reeks met eikander vergelijkt, en zich daar bij derzelver eigenfehappen, die wij in deefe les ver, klaard hebben , herinnert, zal men de volgende overéénkomsten ontdekken.
1. In een meetkunflige reeks wordt elke volgende term gevonden, door de voorgaande term met de exponent te verménigvuldigen, indien de reeks toeneemt, of te deelen indien de reeks afneemt; maar in een rékenkunftige reeks vindt men elke volgende term door het verfchil bij de voorgaande term op te tellen of van de voorgaande aftetrekken , naar maate de reeks toe of afneemt.
Iï. In een meetkunftige reeks is de nde term gelijk aan de eerfte term A verménigvuldigd door de n-r magt van de exponent r; maar in een rékenkunftige reeks is de nde term gelijk aan de eerfte term A geteld bij n-i maal het verfchil.
III, Het product, der uitterfte termen van een meetkunftige reeks is gelijk aan het produót van twee termen die éven ver van de uitterftens afftaan: in een rékenkunftige reeks intégendeel, is het de Ss 3 fom
6j o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
fom der uitterfte tenren, die aan de fom van twee termen gelijk is , die elk éven ver van de uit. terften afftaan.
IV. In twee meetkundige reekfen zijn de producten en de quotiënten der overéénkorsftige termen in een meetkunflige reeks ; maar van twee rékenkunflige reekfen zijn het de fommen en de verfchillen der overéénkomflige termen , die in een rékenkunflige reeks liaan.
V De zeilde magten van, en de zelfde magts» wortelen uit een meetkunftige reeks, maaken een meetkunftige reeks; terwijl de gelijknaamige veelvouden en de gelijknaamige deelen van de termen eener rékenkunflige reeks met elkander een rékenkunflige reeks uitmaaken.
Als wij dit alles bij elkander neemen , mogen wij befluiten, dat zo wel de gelijkheden als de reeklen, die in de meetkunflige reekfen door multiplicatie , divifie , verheffing tot magten en de wortel-trekking van eenige magt ontitaan, op gelijke wijfe in de rékenkunflige reekfen door Aditie, Subtraélie, Multiplicatie en Divifie voordgebragt worden. :
§ 719. Als wij twee reekfen een meet en een rékenkunflige reeks teaen elkander vergelijken , 'hoedanige 'er twee hier névens flaan , de eene A e£n meet en de ar.dere B een rékenkunftige réeks, van welke reekfen de overéénkomflige termen névens elkander liaan befpeurt mtn in deefe ieekfèn de volgende gewigtige overéénkomften.
• I. Als men twee termen 6 en 8 f bij voorbeeld) van de rékenkunftige reeks optelt, ftaat de fom 74 in die zelfde reeks névens het getal 8192, dat het 1 pro-
III. B. I. II. XXIX L. Overééak. der Reekf. 631
product is van de getallen 64 en 256, A 1 B die in de meetkunftige reeks névens 10 de getallen 6 en 8 ftaan. 4 \
\\, Als men in de reeks B een klei- ^ 3 ner getal 5 van een grooter 12 aftrekt, 32 \ ftaat in die zelfde reeks névens het ver- ^ 6 ichil 7 in de meetkunftige reeks het l's6 8 getal 128, dat het quotiënt is van 5£j ^ 4096, (nevens 12 ftaande ,) gedeeld 204a lZ door 32, dat in die zelfde reeks naast 4096 13 5 ftaat, 16384 1.5
III. Als men eenig getal 3 met 2 g of 3 verménigvuidig: ftaan névens de j I3?07a x8 produaen 6 en 9» de getallen 64 en | gg* 1 19 512, die het quadraat en de cubik van 1 1048576 ' «1 8 zijn, van dat getal namelijk, dat in | g de meetkunftige reeks névens het ge- | 8388603 I 24 nomene getal 3 ftaat.
IV. Eindelijk als men uit de reeks B een getal gelijk 12 neemt, zal de helft en het derde van dat getal, namelijk 6 en 4, névens 64 en 16 in de meetkunftige reeks ftaan, welke 64 en ^16, de quadraat en cubik - wortelen zijn uit het getal 4096, dat naast het genomene getal 12 ftaat.
Van dit alles kan men zich nader overtuigen door geduurig andere termen uit de reekfen te neemen en het gezegde aan dezelve te toetfen.
IX. Hos de Logarithmen uit deèfe overéénkomst ent/laan.
§ 720. Wij noemen in het vervolg de termen der rékenkunftig reeks B de Logarithiwem (dat zo veel zeggen wil, als Aóyav getal» Ss 4 len
62-2 GRONÜBEG, der CiJFFERKUXS j\
kn der rédens) van de overéénkomfiige termen der meetkunflige reeks. Zo is o do log. van i J 5 ce Jog. van 3 ?,. Het geen wij nu boven § 718. van deefe réékfen, gezegd hebben, drukt zich aidus uit: i° De logarithmen van twee getaiien optellende, is de fora de iogarithmus van het pro. duét deefer getallen. 2a Als men die zelfde Iogarithmen van elkander aftrekt, is het verfchil dë Iogarithmus van het quotiënt deefer getallen; 3" De Iogarithmus van een getal met N vermenigvuldigende', is het product, de Iogarithmus van de magt van dat getal. 4° — en die zelfde Iogarithmus door N deelende, is het quotiënt de Iogarithmus van de N -ptbolijche Logatühmus vao dat zelfde getal 0.
III. B.I. II. XXIX. L. Over de Logarithmen.."635
De logarithmen der ondeelbaare getallen naar deefe leerwijfe te berekenen is ééne van de zwaarfte en lastigfte rékeningen, die in de wiskunde plaats kunnen hebben, de leefer zal uit de volgende berekening van de Iogarithmus van het getal 5 kunnen oordeelen, met wat moed en onbegrijpelijk geduld de eerfte opftellers der logarithmen-tafel moeten bezield geweest zijn, om een zo m^juJj£ werk uit te voeren. Op de névenftaande bladzijde vindt men de berékening van de Iogarithmus van het getal 5. In deefe fchets is 1 ca A en 10 ca B gefteld; dus is log. van A of de log. van I s o en log. van B ©f de log. van 1 o ca 1. Tusfchen A en B heeft men de meetkunftige midden-cvenredige, die C genoemd wordt sa 3,162277 gevonden. (Deefe wordt gevonden door de getallen A en B met elkander' te vermenigvuldigen cn uit hst producl 10 de vierkants-wortel te trekken.) Na deefe bewerking heeft men tusfchen de log van A, die o, en de log. van R, die 1 is , de rékenkunftige midden - évenrédige 0.5000000 gevonden, door de loganthmus van A en'B optctellen en van deefe fom de helft te neemen, deefe rékenkunftige midden-évenrédige tusfchen 'log. A. en log. B is nu de log. van C. *Hec overige van de gantfche berékening beftaat in een herhaaling van dezelfde bewerking, namelijk éóne multiplicatie, ééne wortel - trekking, ééne additie en eens door 2 te divideeren, door welke herhaalde bewerkingen in de voorfte colom telkens getallen gevonden moeten worden , die nader aan 5 komen, en eindelijk van 5 zo weinig verfchillen, dat ze zonder merkelijke onnaauwkeu. righeid voor 5 kunnen gehouden worden, terwijl in de tweede colom door de. rékenkunftige mid.
den
6$6 GRONDBEQ. der CIJFFERKUNST.
Berekening van de Logarithmus van het getal 5. A ss 1,00000 j log. A =3 0,0000000 I B se 10,00000 Zog. B ss 1,0000000 I C ss 3,1622-7 I Zog. C ca 0.5000000 ' c = V A 3 » bb 5,623413 j Zo?. D =3 0,7500000 D = K B C £=34,2*6964 /og. E =30,6250000 1 £ =ij/CD g =s 4,869674 Zog. F a 0,6875000 F ~ f D F 5^32091 /cg. G =j 0,7187500 G^^/DF H =3 5.048065 j kg. H =3 0,7031250 H = 1/ FG i =3 4,9551069 ) Z#g. I 53 0,6953 »5 1 "^FH J- 5,002865 i log. K =s o 6992178 K =s i/H i L es.4,980416 j Zog. L s: 0.69726^,6 L =3 i/I K M= 4,99;627 i log. Ma 0,69824a t ï M=;i/KL Jj » 4^997-42 % N jfs 0,6987304 ' IN =s t^KM O = 5,000052 kg. O =3 0,6989745 lOsj/KN
£ =4.998647 kg. P s 0,6988525 f' P = V/\ O
X «4 9v)-'35« %.Q =30,69^35 Qcsi/Ö P
K =3 4,99070r Zog R =3 0,6989440 R s3 1/OQ
&=s4.95.9876 leg.S s;0,6985.59a S s5^0R
•J ~ 4,999903 Zog. T =: 0,6989668 Ts/os
V ca 5,000. 08 log. V =3 0,6989707 V = i/'0 T V. =34,999984 kg. W= 0,698^87 W=V'fV X =3 4.999997 Zog X = 17,6989697 X s=WVV
Y es 5,02933 Zog. Y =: 0,6989702 Y - V V X i£ ca 5,00000 | Zog. Z =3 0,6989700 j Z =5 Y
4en-évenrédige tusfchen de logarithmen der getallen te bepaalen, waar van men de meeckunu>e midden-évenrédige gevonden heeft, de logarithmen deeler meetkunftige midden -éveniéiige bekend worden. Om nu voords elke nieuwe middenevenredige nader aan het bedoelde getal 5 te deen Soraen, moet men uit de reeds gevondene getal, len twee zulke getaiien neemen, die het naast aan 5 Koomcn, dogh het eene grooter en het andere
HI.B.L II. XXIX. L. Over de Logarithmen. 637
dere kleiner dan 5, dan gaat het vast, dat het getal, het welk men op nieuw verkrijgt nader aan 5 zal zijn, dan eenige der getallen, die men te vooren revonden hadt;— Agtervolgends deefe befchrijvmg berekent men de midden-évenrédige tusfchen cn B, komt D ss 5.632413 ■> enïiu fcbriift men ?m cemaklijker het beloop der bewerking te overzien in de derde colom D ss V B C, telt voords de logarithmen van B en C te zamen, neemt van de fom de helft, dan komt kg. van D sa 0,7500000. >Va d^efe tweede benadering zoekt men de middenévenrédige tusfchen C en D, die van de leeds bekende getallen het naast aan 5 komen, deefe fteit
men ss £, en zoekt de Iogarithmus van E
dus voordgaande, zo als men uit de verdere bafchouwing der berékening zien zal, vindt men na l993744^>
hg. van 985,7 es 2;993744*|
log. van 98.57 » ^993744»
log. van 9,857 = 0,9937448 Om die réden zijn de logarithmen m de tafels van Douwus na de eerfte duizend met weglating van de wijfers opgefteld, naardien derzelve altijd uit het getal cijffers, waar uit de heelen van het natuurlijk getal beftaan, gekend worden.
II. HOOFD-
fyo GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
IL HOOFDDEEL.
Over de proportie-rékening in opzicht tot allé voorkomende omftandigheden.
XXX. Les- Over de oplos fing van de vierde évenrédige gewoonlijk den régel van Drien — benévens een aanwijfing van den aart dér vraagen, waar in deefen régel moet gebruikt werden.
IA. Over den Régel van Drien in het geineen. % 727.
TX7at eén vierde évenrédige tot drie getallen \ V is, en hoe deefe vierrï» &UJJ,cn den wordt is in &Txxvm rére"red,£e §evonvoldoende verklaard her n § 67 ^ reeds'
is dus alleen maar ,Lm l9 8rS Van dcefe Les waar onder" de ddé ^^1?^ '
" v^gen t°nderl5k Ï£ aan h 3^^^ ™,k« oplosfing
pnderworpen woeden. CVenrédiSe ka°
L Wac
III. B. II. EXXX. L, Ov. den Régel van Drien 64I
I. Wat tot den régel der vierde évenrédige behoort.
§ 728 Als men fielt, dat een vraag door den régel van de vierde - évenrédige kan opgelost worden, moeten eerst m zulk eene vraag drie getallen bekend zijn, uit welker (a » overéénkomst met elkander het vierde moet bepaald worden. — Onder deefe drié getallen, moeten i°twee zulk eene overéénkomst met elkander hebben, dat als het ééne eenige maaien grooter of kleiner is, het andere ook ëenige maaien grooter of kleinermoe: gefteld worden. 20 het derde 'getal moet met één van de twee voorgaande van dezelfde foort zijn; dat is te zeggen, het derde getal moet met één van de rvee andere , ^grootheden van dezelfde foort uitdrukken., ook moet dat zelfde derde getal met het gevraagde in dezelfde overéénkomst ftaan als de twee eerst genoemde.
Om alles béter aan het verftand van den leefer . te brengen, zullen wij eerst twee vraagen van een régel van drien ftellen, en de gegeevens van elk derzelver tégen elkander vergelijken.
i° Stel dat men voor 5 gulden kan hoopen 9 ponden van zékere waar; hoe veel ponden van die zelfde waar zal men dan hebben kunnen voor 100 gulden?
20 Stel dal met roo gulden Capitaal in één jaar 4 gulden kan gewonnen worden-, hoé veel
gulden
(n) Om dat 'er in het vrdagftak van de vierde évenrédige , drie getallen als Metdiens gegeeven zijn; wordt de werkmanier, waar door die vierde-évenrédige gevonden wordt, den régel van Drien genoemd.
Tt
64a GRONDBEG. de* CIJFFERKUNST,
gulden zal men dan tri dat zelfde jaar met 6725 gulden winnen?
In de eerste deefer vraagen zijn twee grootheden; 5 gulden en 9 pond, die ge ijk waardig, zijn en dus noodzaakiijk deefe overéénkomst met elkander hebben, dat zoo veel maal het eene 5 gulden grooter of kleiner genomen wordt, het andere"9 pond éven zo veel maai grooter of kleiner moet worden. Dit heet overéénkomst van gelijkwaardigheid,
De 10 gulden, die nog in de vraag zijta, zijn met de vijf gulden grootheden van dezelfde foort en hebben met he gevraag le getal van ponden dezelfde oveiéénkomst van gelijkwaardigheid.
In de tweede vraag fïaar het Capkaal ! eo gul« den met de winst 4 gulden* coor het Capkaal aangebragt, juist in geen overéénkomst van gelijkwaardigheid , maar komen me: de twee gelijkwaardige getallen in de eers'e vraag daar méde overéén, dat een dubbeld, drieën vierdubbeld Dpitaal ook een' dubbelden , drie en vierdubbeldt-n winst moet aanbrengen, in welke overéénkomst ook het gegee ■ vene Capitaal 6725 gulden met de gevraagde winst moet zijn.
Dit verklaarde vergeleeken met den oorfprong en den aart der proportien, in de XXVIII, Les § 657 en 659, mogen wij befluiien, dat in beide geHelde vraagen, de drie bekeade getallen met her. onbekende of gevraagde in proportie ftaan; te weeten, het onbekende x noemende.
5 Guld : 100 Guld. a 9 pond : x pond
in de eerste
en 100 Capit. 2 6725 Capit. ss 4 winst : x wipst
in het tweede.
in welke beide flellingen het gevraagde x de vierde évenrédige zijnde, bewijst dat de opiosfmg van bei.
de
777. B.1T.È XXX. L. Ov. den Régel van Drien, 643
de (tellingen aan de eigenfehappen der proportien en aan de vraag om de vierde-évenrédige te vinden onderworpen is. Als men beide Hellingen werkelijk oplost, zal
men in de eerste x ~ ?XxOQ_ =; igo; en in dëj 5
tweede x ~ -Lr-~~Jt -.260 vinden, 100
II Wat voorzorg men gebruiken moet voof dat men bejluit, dat een t>o ^gefielde vraag tot den régel van Drien behoort.
1 § 729 Als dan de befchreevene overéénkomst tusichen de bekende en het onbekende getal in een vraag beftaat, mag men ftellen dat zulk een vraag, door het vinden ven een vierde-évenrédige kan opgelost worden: Men moet dan — ( en dit is het eerste en gewigtigfte weik, dat tot de ,op(osfmg van een régel van Orien behoort) voorïf onderhoeken, of die vereischte betrekkingen tuslchen de gegeevene én het gevraagde getal [land grijpen; want zo ?er de. fe niet in gevonden worden, is de vraag ook geen ftelling van den régel van S. rien, maar etn vraag van een gattfseh andere natuur*. Hier in dient elf; zeer oplettend te zijn , aangezien 'er veele, voorftellen zijn, die in het eerste aanzien order de gedaante van de ftelling van een régel van Drien voorkomen en die évenwei uit geheel andere bo" giniélen moeten opgelost worden
T z 2 III
(a) Ooi die réden is hei üobdza
éu GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
III. Hoe een peiling van een régel van Drien opgelost wordt,
§ 730, Een ftelling van een régel van drien noemen wij in het vervolg, elke vraag, die door het vindén van ectf vierde évenrédige moet opgelost werden Alhoewel nu dé oplosimg van die vierde évenrédige, zó als wij die § 67a geleerd hebberi, Voor alle gevallen voldoende is, zullen wij de zaak uit een ander gezichtpunt befchouwen, en ete geval^ dat pfërts kan hebben , afzonderlijk in overweeging neemen. «
Algemeen Voorschrift.
§ 731 - 0 In een Pelling van een régel van „ drien onderfchcidt men het geen bekend is van „ het gevraagde, het geeh uit de natuur van en „ uit bewoordingen waar in de vraag uitgedrukt „ is gevonden wordt \
20 Gevonden hebbende, waar naar gevraagd „ wordt, zoekt men onder de gegsevens een ge* „ tal dat met het gevraagde gelijkmaatig is en ,, dat getal fchrijft men op".
3Q.
wijfer zijne leerlingen juiste denkbeelden inboezeme van" den waaren aart van den régel van drien : buiten deefe voorzorg zallen hunne leerlingen waare machines zijn, die vraagen (gelijk bij voorbeeld een lichaam dat valt, valt in de {eerste fecunde door een ruimte van 15,6 voeten, door wat ruimte valt het dan in den tyd van 7 iecunden?) waar in dne getallen gegeeven, en door de gebruikte bewoordingen, het aanzien van een régel van Drien hebben) als een régel van drien oplosfcn.
Deefe onkunde in den waaren aart van den régel van dries, die dikwijls aan het verzuim van den Leermeester toe te fchrijven is, kan (gelijk ik dikwijls heb zien gebeuren) de oorzaak van veele misvattingen zijn. ■
III. B.1I II. XXX.L. öv.den Régel van Drien. 645
30 „ Met het opgefchreevene getal ftaat een „ der twee andere bekende getallen gelijkwaardig „ of in évenrédigheid , en dat getal gevonden „ zijnde\ "fchrijft men het zelve voor aan ter „ linkehand van het eerste "
4° ,, Het andere bekende getal dat rQV;rblijft „ fchrijft men aan de rechteband1.
De-twee (tellingen van § 728 pag. 64a zullen naar dit voorfchrift dan aldus {Taan:
de eerste 5 Gl. — 9 pond — ïoo Guld.
de tweede ïoo Cap, — 4 winst — 67.5 Cap.
In deefe opftellingen is op te merken. i° dat de twee voorfte gerallen of met elkander een gelijke waarde hebben, gelijk in de eerste, of aan elkander évenrédig zijn, gelijk in de laatfte, (welk laatfte zeggen wil, da; de grootheden door de twee eerste getallen ui-gedrukt, van dien aart zijn, dat het eerste in dezelfde réden grooter of kleiner wordt dan het andere) 20 dat het eerste en het laatfte getal grootheden van dezelfde foort moeten zijn; dat is als het eerste guldens, ellen, ponden, capitaal, of winst betékent, moet ook het laatfte yetal guldens, ellen, ponden, capiraal of winst betékenen. 39 dat het middelfte getal een grootheid van dezelfde foort moet zijn als het gevraagde, zo dat naar ponden, guldens, capitaal of winst gevraagd wordende, het middelfte getal ook ponden, guldens, capitaal of winst moet betékenen.
Dit alles zijn gevolgen, op den voorfchreevenen en eenigzints willekeurigen régel beiustende, welke ftrikt gevolgd zijnde, alle de eigenfehappen , in de vourge?chreevene opmerkingen opgerekend, tot een zéker kenréken zullen hebben, dat men in alles den régel gevolgd heeft.
T t 2 IV.
6* GRONDBEG der CIJFFERKUNsï.
IV De ftelling van een régel vm d '.en opgefchreeven zijnde, dezelve te berékenen in de onderftelling, dat alle de léden hiele getallen zijn.
% 732 Wij zullen vier (tellingen opgeeven, de^el. ve betoogmaatig oplosfen-en daarna alles tot éénen algemeenen régel verzamelen
I Voorbe ld. Als 1 pond cofij kost 13 ftuivers , hoe veel kosten dan £3 pond?
De ftelling naar den régel $ 7vI opgefchreeven zijnde, heeft men
i.pond 13 ftaiv.;^ 83 pond.
Dewijl hier de twee eerste termen in waarde aan elkander gelijk zijn, zal 8,3 maal 1 pond ook een gelijke waarde hebben met 83 n:aal i\ ftuivers- om dan te vinden hoe veel 83 pond kost, moet 12 ftuivers met 83 gemultipliceerd worden, zo als rneii hier ziet
i pond — ï3 ftuiv. «—, g3 pond
komt io/|Q ftuiv. het beloop van 83 p. cofBj of liever 53 Guld. r9 ftuiv., dat het zelfde is
II Voorbeeld. Als 144 dien laken kosten 720 guldens-, lioe veel kost dan 1 elle van dat zelfde laken?
Als men de ftelling naar den régel opfchrijft, ftaat dezelve aldus
144 ellen — 720 guldens — 1 elle. In deefe hebben de twee voorste getallen eene gelijke waarde, gevolglijk zal één honderdvierën.
veer-
111. E. II. II XXX. L. Ov. den Régelvan Drien. 547
veertigfie deel van het eene getal 144 ellen een gelijke waarde hebben met één hcnderdvierënveenigfte deel van hef andere; dat is $ van 144 ellen of 1 elle zal gelijk zijn met - van 720 guldens, dus zal men 720 gulden /f2,144 moeten deelen, wanneer men zal vei krijgen dat 1 elle gelijke waarde heeft met 5 gulden —— en de bewerking Haat dus
144 ellen — 710 guldens — 1 elle
■{ § gulden , de waarde van één elle laken. ITï Voorbeeld. Als men voor 17 ftuivers hoopt 1 pond., hoe veel pond zal men dan hebben voor 8891 ftuivers?
De ftelling wéderom cpgefchreeven zijnde, heeft men
17 ftuiv. 1 pond 8?9I ftuiv-
Nu zal elk toeflnan, dat zo ménigmaal als 17 ftuiv op 8Hqi ftuiv, begreepen zijn, ook éven zo veele ponden felk r-7 ftuiv. waard ) voor 8891 ftuivers kunnen gekoft worden, weshalven de vraag opgelost is, als 8891 ftuivers door 17 ftuivers gedeeld worden, waar door de geheele berékening in deefe order ftaat
J7 ftuiv> .— 1 pond S891 ftuiv.
39 "{5 2 3 Zoo veele 51 ponden zal men (o om 8891 ftuiv. kunnen hebben
IV Voorbeeld Als 25 pond van eenige waar kosten 15 gulden, hoe veel kosten dan 720 ponden van die zelfde waar ?
Wij hebben na het opfchrijven van de ftelling
25 pond 15 guld. —' 720 pond.
Hier hebben (gelijk in de voorige) de twee T t 4 eer-
&8 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
eerfte termen of léden eene gelijke waarde, dus zal (het agterfte getal tot muliiphcant neemende) 720 maal 25 pond zo veel waard moeten zijn als 72 maal 15 gulden, dat is 720 maal 25 pond is s= aan ioboo guldens, aangezien nu 720 maal 25 pond zo veel is als 25 maal 720 pond, en men eigenlük naar de waarde van 720 pond, en niet naar die van 25 maal 720 pond vraagt, is het verkreegene getal 10800 guldens 25 maal te groot, of 25 maal grooter dw het getal, dat men eigenlijk hebben moet, hec geen ons van zelf aanwijs:, dat, om het eigenlijke getal te vinden, een vijfëntwintigfte van 10800 guldens bepaald moet worden, dat is 10800 moet in 25 gedeeld worden. Zo dat de 15 gulden eerst met 720 moet verménigvuldigd en daar na het komende in 25 moet gedeeld worden. Het geen uit deefe bijgevoegde bewerking nader te zier; is
25 pond 15 guld. 720 pond
720
10800 \ 452 guldens die 720 ; 80 pond kosten in de on50 derftelüng dat 25 pond (o 15 gulden kosten. § 733. In deefe vier voor ftellen worden alle de gevallen gevonden, die plaats kunnen hebben, als al de termen van de ftelling heele getallen zijn: in het eerfte komt alleen ééne multiplicatie, in het tweede en derde alleen ééne divifie te pas: het laatfte wordt door ééne multiplicatie en ééne divifie tot de oplosfing gebrsgt. — Dit alles bij één brengende, blijkt het, dat men mag vastftellcn deefen algemeenen r é G e l.
„ De ftelling naar behooren .opgefchreeven „ zijnde, vermenigvuldigt men de twee agterfte
„ ter.
III. B. IIII XXXL. Ov. den Régelvan Drien 649
,, termen met elkander en deelt het produEt door den voorflen term?
% 734. Aanmerkingen. I Als men deefen régel vergelijke mee den régel die wij §672 opgegeeven hebben, zal men zien, dat zij in het weelen der zaak' met denzelven overéénkomt.
II. Het is niet noodzaaklijk de twee agterfte getallen eerst te verménigvuldigen en dun het produel: door het voorfte te deelen ; men kan het agterfte eerst door het voorfte deelen, en dan het middelfte door du komende quotiënt verménigvaidigen of ook het middelfte door het voorfte deelen en het quo. tient met het agterfte verménigvuldigen,
III. Om de bewerkingen zo veel als mogelijk is te verkorten en gemaklijker te maaken, moet men de getallen, zo- veel mogelijk is, verkleinen. Ten opzichte van deefe verkleining gaat het vast, „ dat „ altijd het voor/Ie tégen het middelfte en ook „ tégen hst agterfte kan verkort worden" (Nooit mogen da twee agterfte getallen tégen elkander verkort worden.') Wij zullen den aart van deeie ver. kleiaing in de oplosfing van het vierde voorbeeld nader doen zien: de ftelling is aldaar
25 pond—-15 Guld:——720 pond. Als men de twee voorfte termen door 5 deeie, komt
voor 25 pond 15 Guld: 720 pond.
deeie 5 pond ~— 3 Guid: —— 720 pond, Nu is de ftelling veranderd in deefe, „ Als 5 pond kost 3 Gulden: hoe veel dan 720 pond! In deefe laatfte ftelling kan de eer;;c en dej de term elk door 5 gedeeld worden, en dan komc voor 5 pond — 3 Gi'ld; 7 -.o pond
deefe 1 pond —. 3 Guid; 144 pond
welke door eene enkele mulupliéaue kan ben k« • ï Ttj5
650 GRONDBEG der CDFFERKUNST.
worden, re weeten door 3 Gulden met T44 te verménigvuldigen, wanneer 'er komt 452 Gulden, z ' als wij ook door de eerfte bewerking gevonden hebben.
Het geheele beloop van die kunflbewerking.
$!.? pond fi Guld: pond.
t 3 144
* 3
432 Gulden, de waarde van 720 pond.
Wij ftaan bij deefe verkleining nog een oogenblik ftii. — Als men de twee voorüe termen elk door 5 deelt, bekomt men twee getallen, die gelijke waarde hebben: of men dus zegt 25 pond kost 15 Gulden hoe veel 720 pond? dan of men zegt 5 pond kost 3 Gulden, hoe veel 7. 0? moet men in beide vraagen het zelfde andwoord verkrijgen, aangezien door deeling blijkt, dat 25 pond Gul. den waard zijnde, ook 5 pond met 3 Gulden een gelijke waarde moeten hebben. — Ten opzichte van de verkleining der eerfte en derde term tégen elkander , dient men optemerken, dat ook daar door het gevraagde getal niet veranderd; want zo veel als het product door de verkleining kleiner wordt, zo veel maal wordt het quotiënt grooter, men zal dan met de getallen, die men door verkleining verkreegen heeft, werkende, dezelfde uitkomst in de rekening verkrijgen , die men zou verkreegen hebben indien men met de onverkleinde getallen gewerkt hadt.
Deefe tweeërlei foort van verkleining der getallen kan ook nog afgeleid worden, uit die eigenfchap der proportien, bij welke de gelijkHandige
ter
HL Rif. H. XXXI. Ov.detiRógelvan Drien. 65r
termen met het zelfde getal gedeeld zijnde , de quo:i tot ftuivers gemaakt, en het komende in 120 gedeeld worden, dewijl nu 20 in 120 zesmaal begreepen is, deel ik 17 \ nu als een geral van ftuivers aanmerkende) door 6 en dan vetkrijg'ik 19 ftuiveis. De overblijvende 3 ftuiv. moeten met 6 tot penningen gemaakt en het komende getal in 6 gedeeld worden, maar 6 en 6 door 2 veikleinbaar zijnde, vermenigvuldig ik met het getal 8 en deel het product door 3,
zijnde
ó>4 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
zijnde de getallen, die voor 16 en 6, door verkleining, gekomen zijn.
B. BefchoavAngen van de bijzondere gevallen van den rég ! van Drien.
§• 735- Ais men weet hoe een régel van Drien opgelost wordt in de onderftellirg, dat alie de ter. men of léden heelen getallen zijn, is men ook in ftaat cm alle andere gevallen, na eene korte herleiding tot het hoofd .geval te Brengen , en dus door den régel van 5 733 op te losfén.
$ 736. De gevallen, die ons thans te befchouwen ftaan, verdeelen wij in twee hoofdfoorten.
I. Als een of meer der gegeevens zamengefteld zijn uit heelen, deelen en minderdeelen, welk geval gewoonlijk gezegd wordt tot den régel van' drien in het geheel te behooren.
II. Als een of meer der gegevens gebrokene of gemengde getallen zijn. Dit geval wordt d&n ré. gel van drien in het gebroken genoemd.
In deefe twee gevailen kunnen wéderom andere cmflandigheden plaats hebb.-n, die wij elk afzonderlijk gaan befchouwen.
Vooff moet ik mijn leefer berichten, dat men 1° elk geval door één of meer der herleidingen, in de IX. en X Les geleerd, moet brengen tot het hoofd geval. 20 Dat men vooral moet oplettend zijn, of de voorfte en agterfte termen gelijkmaatig zijn, Want dit vereifchte in de ftelling van den régel van Drien ontbreekende, moeten door de heken, de of gegeevene betrekking tusfchen de éénen deefer getallen , die getallen eerst gelijkmaatig gemaakt worden. 3 ftuivers 30 ftuivers met 37 verménigv. § 713
injo ftniv. de waarde van 37 pond.
of 55 guld. 10 ftuiv. Zo veel kost 37 pond.
II Voorbeeld, Als 7 ellen kosten 3 guld, 17 ftuiv. 8 penn. hoe veel Ï19 ellen?
De ftelling en de bewerking is als volgt. i Elle — 3 gl. 17 ftuiv. % penn. — tt$ ellen. I 20 1 halve ft. 17
77 ftuiv. . met 2 tot halve ftuivers
155 halve ftuivers met 17 verménigv.
2635 halve ftuiv.
O 7
13171 heele ftuiv.
65 guld 17! ftuiv. —— de waarde of het - beloop van ixo ellen.
Vet
III. B. II.H. 'XXX. L\ Ov.den Régel vönDrien6$?
■ Verklaaring.^ Eerst maakt mende zamengeftelde grootheid 3 Guld. 17 ftuiv. 8 penn. tot penn. ï maar om dat [in dit geval de 8 penn. eigenlijk een halve ftuiver zijn, fchrijft in plaats van die 8 penn. 1 halve ftuiver, en maakt de 77 ftuivers; die voor -r guld.- 17 ftniv. gevonden zijn, töt halve ftuivers, de ééne halvë ftuiver voor de 8 penningen, daar bij 'tellende: nu is de vraaa: tot deefe herleid „.als 7 5, ellen kosten 155. halve ftuivers. hoe veel halve
„ ftuivers kosten dan 119 ellen"? Eer meu
deefe ftelling oplost, gaat men na , door welke getallen men verkleinen mag- en vindt, dat 7 ellen tot 119 ellen door 7 gedeeld zijnde, tot elkander ftaan als 1 tot 17; men zal dan alleen met 17 behoeven te verménigvuldigen, om te vinden, dat .119 ellen ~ 2635 halve ftuiv. s 13173 heelen — 65 Guld. 17; ftuivers zijn.
Aanmerkingen op dit geval.} § 738. I. Het is niet volftrekt noodzaaklijk, om eerst de middelfte term tot minderdeelen te reduceeren: men doet dikwijls veel béter als men de middelfte term terftond met de agterfte verménigvuldigt ' en het iproduóï iri de voorste term verdeelt. Op .deefe wijle zijn de twee opgegeevene voorbeelden hiei onder bewerkt. I.) 5 pond.-*- 7 guld. 10 ftuiv.. — 37 pond,
- ■ . 37) verméni
277 guld. 10 ftuiv.
Jn 5 deel) - —-—
komt 55 guld. 10 ftuiv. voor het be« loop van 37 pond.
•558 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
lij i ellen - 2 guld. 17 ft. 8 p. - ii§ ellen
l verménigv. met 17 17.
65 guld. 17 ft 8 penn. het beloop van itq ellen. Deefe bewerkingen hebben, indien wij onderftellen, dat de leeier het verhandelde in de XIV en XV Les verftaat, en den genoegfaamen grond van den algemeenen régel § 733 doorzien kan, geen verdere verklaaring noodig.
II. § 739' Dikwijls gebeurt h.t, dat men, gelijk in het eerste voorbeeld, het eerste getal tégen hec tweede verkleinen kan; dan doec men best eerst de verkleining in te richten, en daar na den algemeenen régel toe te pasfen.
t pond — 7 guld: 10 ftuiv. — 37 pond. I pond — 1 guld: 10 ftuiv,
met 37 verménigv.
55 guld: 10 ftuiv. Zo als boven gevonden is.
III. § 740 Men kan ook vooraf de laatfte term door de eerste doelen, en de middelfte met het korrende quotiënt verménigvuldigen. Bij voorbeeld in deefe vra?p,i ah 8 pond kost 19 guld, 11 -ftuiv 14 pen'ti. hoe veel 113 pond? welke men in deefer voegen kan berékenen.
? pond
UI. B.1L H. XXX. L. OvJen Régelvan Drien.639
% pond -~ 19 guld. 11 ft. 14 p.— u% pond I verménigv. met 14J i^j
274 guld. 6 ft. 4 penn. nij J 2 guld. 8 ft. 151 penn.
komt 276 guld. 15 ft. 3] penn. het beloop van 113 pond.
Wij verzoeken den leefer om het geen wij in de multiplicatie der breuken over de verménigvuldiging der zamengeflelde grootheden door gebro^ kene of gemengde getallen , gezegd hebben t| herleefen. /
IV § 74?- Eindelijk kan men nog op de vol gende manier werken.
I) 5 pond — 7 guld. 10 ft. - 37 pond.
7
259
ïo ftuiv. 18 : 10
277 ; 10
•deel in 5)——.
55 gl- 10 ftmV. het beloop van 37 pond,
II) i ellen - 3 gl.: 17 ft.: 8 p.t H ellen.
17 3
12 51 gi.
10 8 gl. 10 ft.
5 4 gl, 5 ft.'
23 2 gl. 2 ft.8p
komt als boven 65 gl 17 ft,8p V v 2 DU,
660 GRONDBEG. der ClJFFERKÜNST.' III) 8 pond i- iQgl. ii ft. I4p.— 113pond j
ftuiv. |To . . . . . 56 : o
' 1— i6penn 5 : 13
f~T . . . . 2 : 16 : 8
Pe"n-\ 4 - • • • 1 : 8 : 4
2 . . . . 14 : 2
2214 : 1 :14 8)
komt zo als boven a7Ógl. 15(1. 24 p.
Perklaaring, van de bovenftaande bewerkingen. Als de leefer de verdeelingen, die wij § 543 geleerd hebben naleest, en den régel die wij daar toe hebben vöorgefchreeven, op de deelen en mirderdeelen der Munten. Maaten en Gewigten roepast, zal hij de bewerkingen op de drie voorgaande voorbeelden toegepast, volkomen in ftaat zijn te begrijpen. Wij zullen alleen de bewerking van het tweede voorbeeld varklaaren en het overige den leefer tot eigene overdenking overlaaten.
Men heeft in het tweede voorbeeld eerst de 7 en 19 ellen tegen elkander door 7 veikleind, en dus in plaats van deefe getallen 1 en 17 verkreegeu. Daarna heeft men \y met 3 verménigvulddigd, komt 51. Deefe 51 zou het beloop van 119 ellen zijn, als de 7 ellen maar 3 gulden kosten ; maar nu de 7 ellen eigenlijk 3 guld ; 7 ftuiv. en 8 penningen kosten, moeten bij deefe 51 gulden nog zo veel maal 17 ftuiv en 8 penningen bij gedaan werden, als 7 eilen op 119 begreepen is, namelijk 17 maal. De 17 ftuiv. en 8 penn. laaten
zich
III. B, II. II. XXX. L Ov. den Régelvan Drien66i
zich door gemelden régel van § 543 verdeelen in 10 ftuiv. 4- 5 ftuiv. 4. 2' ftuivers, nu is 10 ftuiv. ca \ guld; 5 ftuiv. ca \ van \ gulden of | gulden; en 2\ ftuiv. 1 van 5 ftuiv. ca ^ van ï gulden ca \ gulden. Nademaal nu de 17 ftuivers. en 8 penn 17 maal bij de 51 gulden moet gefteld worden, zal ik het geheele beloop vinden, door eerst 17 halve guldens, dan 17 quart guldens en dan nog 17 agfte guldens bij de 5*1 gulden te tellen. Nu is (zie de fchets der beréking) 17 halve guld ca 8 guld. 10; 17 quarc-guld. ca \ van ( 8 guld. 5 ftuiv.) ca 2 guld. 2 ftuivers 8 penn; deeie te zamen met 51 gulden opgeteld, maaken 65 guld. 17 ftuiv. 8 penn.
Uit dit Haaltje zal de leefer zien, hoe hij den régel van §541 gebruikende, de deelen en minderdeelen van Gelden, Maaten en Gewigten verdeelen kan: de bepaaldheid van plaats, die ons nog over is, belet ons, om deefe leerwijfe door veele voorbeelden op te helderen ——. évenwei zullen wij ten gevalle van hun, welke deefe leerwijfe zeer begunstigen en om een réden, mij tot nog toe onbekend., Praétijk of korte rékening noemen, eenige voorbeelden, zonder de daadehjke bewerking ter neder ftellen.
a) (15 ftuiv. 4-12 penn.) c 10 ftuiv + 5 ftuiv + 8 penn. 4- 4 penn. =5 \ guld. 4- 5 van 1 guld, 4- k van \ Guld, 4- 5 van ~ van | Guld.
V) (17 Schell. io'groot) ca 10 Schelf 4- 5 Schell. 4- 2 Schell. 4- ó groot 4- 3 groot 4- ii groot =3 \ pond 4- \ van | pond 4- \ van \ pond j' van 5 van {pond 4- \ van -. van \ van i pond 4ï van \ van \ van \ van \ pond.
O (23 fluiv. 4- 12 penn.) ca 14 ftuiv. 4. 7 1 V v 3 ftuiv.
66% GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
ftuiv. ij ftuiv. + i ftuiv. s i Goud-gl. + i van J G-gl. 4- \ van \ van -t G-gl. +1 van g van ; G-gtl
rf) (22 mudd. 4- i| fchep.) =3 9 mudd. 4- 9 mud, 4- 3 mud. 4- 1 mud. + 1 fch. 4- \ fch. + \ fch, ca J Last 4- - Last 4- j van J Last -f- ^ van * van Last 4- ± van j van * van f Last 4- j van ; van 3 van 3 van | van f Last.
Deefe voorbeelden zijn naar den gemelden régel berékend: als de leefer de moeite neemen wilj om alle deefe voorbeelden zelve na te rékenen, zal hij nog veel andere verdeelingen kunnen vinden, die wij, om kort te zijn, hebben agter wége gelaaten.
§ 742 Na deefe verklaaring ftellen wij de volgende uitgezochte voorbeelden tot oefening in dit
geval.
; Voorbeelden.
i° Hoe veel bekopen 3796 pond, als 1 pond kost 1 guld. ïr ftuiv. en 14 penningen? Andw. 98^5 guld. 17 ftuiv. 8 penn.
20 Als 1 Last graan kost 38 Goud-gl. ïr ftuiv. 10 penn., hoe veel kosten dan 113 Lasten t Andw. 17671 guld. 1 ftuiv. 10 penn.
In dit voorfte! moet men in de uitkomst guldens hebben — dit is het geval dat veel voorkomt, de. wijl de guldens de gemeene maat zijn, in welke alle geldfpetien in-en uitlandfche gemeeten en het beloop der waaren bepaald wordt.
30 Al 100 pond kosten 75 gulden 12 ftuiv. en 8 penningen, wat is dan de waarde van een pond? Andw. 15 ftuiv 2 penn.
4° *k »'375 po»d kosten 6512 guld. 7 ftuiv. 8 penn., hoe veel beloopt dan één pond? Andw. 4 guld. 14 ftuiv. 13^ penn.
50 Gefteld, dat 7ponden 13 oneen van zéke»
re
JILB. ILH.xxx.Les Ov. den RégelvanDrien66%
re waar 25 gulden waard zijn, hoe veel oneen van die waar zal men dan kunnen hebben voor ééne gulden? Andw. 5 oneen.
6° Als j6i ellen kosten 231 gulden 16 fluiv.
3 penningen, hoe veel koften dan 115 ellen? Andw. 165 guld. 11 fluiv. 9 penn.
7° Indien \oc pond kost 37 guld. 12 ftuiv.
4 penn., hoe veel kosten dan 37819 pond? Andw. 14224 guld. 13 ftuiv 6*\ penn.
8° Als men met 100 gulden 3 guld. 11 ftuiv. 4 penn. winnen kan, hoe veel zal men dan winnen met 37195 guldens? Andw. 132j guld. I ftuiv. 7 penn.
§ 743 B. Als bij de eerste en laatfte termen deelen en minderdeelen zijn — In dit geval moeten de eerste en laatfle termen tot gelijkmaatige getallen gemaakt, en daar naailes, als in hec hoofdgeval, behandeld worden.
I VooRiiEELD. Als een pond kost 17 ftuiv. wat kosten dan 17 pond en 7 oneen? Stelling t pond — 17 ftuiv. — 17 pond 7 oneen. 16 oneen < met 16 tot oneen
279 oneen met 17 vermén.
in 16)4743 J29I6
154 C
103 14 gl. i6^R: rest 7 het beloop van 17 pond en 7 oneen.
Verhlaaring. Eerst is 17 pond 7 oneen tot oneen herleid, en men heeft 279 oneen in plaats verV v 4. kree»
d64 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
kreegen. Ook is i pond tot óneen gemaakt. Door deeie herleiding is de gegeevene iteliing van den régel van Drien in deefe veranderd. Als 16 oneen kosten 17 ftuiv. hoe veel kosten dan 279 oneen? — Welke ftelling uicgerékend, voor het begeerde gevonden wordt 14 gulden 16 ftuivers 7 penningen.
II Voorbeeld. Als men-voor 13 fluiv. 12 penn. kan hopen 1 pond, hoe veel ponden kan men dan koopen voor 154 guldjns.
Stelling en Berékening, Xg ftuiv. U penn. — 1 pond -^444. guldens i$ 3) met 2^ tot ftuiv.
4 met 4 tot vierde ftuiv.
14
gé vierde ftuiv. 4
$
komt 224pofd, die voor 154 gulden kunnen gekoft worden. Verklaaring deefer berékening.) De 13 ftuiv. en 12 penn. maak ik eerst tot pmningen,- maar aaangezien de 12 penn, tegen de 16 penn. in ééne ftuiver begreepen, door 4 deelbaar, maak ik de 13 ftuivers en 12 penningen tot vierde ftuivers. Nu moeten nog de 154 Guldens (het laatfte lid van de ftelling) tQt vierde ftuivers gemaakt worden, tot dat einde fchrijf ik onder 154 de 20 en 4 om als muliplicanten te dienen, en "eer ik nu werkelijk verménigvuldigd, onderzoek ik eerst, of het mogelijk zij te verkleinen, fo/ welk ik om die réden doe; cm dat de faclors van de multiplicanten béter kenbaar zijn dan de faclors van het produel, uit de multiplicanten entflaande, en ook om dat men ' daar door dikwijls veel multiplicatien kan uitwin-
nen.
III.B. ILH.XXX. L. Ov. den Régel van Drien.665
ngn. Eerst deel ik 55 en 154 elk door 11 komt 5 en 14: daarna deelt men de 5 die in de eerste term is overgebleeven tégen de 20. die een mulei* plicant van de laatlle term is, door 5 komt 1 en 4 Alle mogelijke verkleiningen zijn nu te werk gefteld , de eerste en tweede termen zijn door dezelve 1 geworden, en tot de uitrékening van de ftelling is alleen maar nodig de getallen 4 en 14 en 4 met elkander te verménigvuldigen, hec welk geeft 224 pond, die voor 154 gulden kunnen gekofc worden.
III. Voorbeeld. Ah 17 Mark 4 oneen l£> engels kosten 77 guldens, hoe veel kost dan 1 Mark?
Stelling en Berékening. 17 Mark 4 onc. t$ eng. — ü gl. — 1 Mark. 8 (4 7 £
Ï40 onc, -(7 r
M (5 *l 35 U gl
2 (3 l
Ui M 5
M —~— f
(8 15<7l«.
Verklaaring. Na de ftelling opgefchreeven te hebben, reduceer ik eerst de 17 mark 4 oneen 16 engels tot 5e deelen van oneen (aangezien 16 eng. 4 vijfde deelen van een once is) en fchrijf onder 1 Mark de getallen 8 en 5 om als multiplicanten de i Mark tot vijfde deelen van oneen te maaken; — dit afgedaan hebbende, verklein ik 704 tégen 77 door 11 komt 64 en 7, de 64 tegen 8 komt 8 tégen 1. — Eindelijk is 5 en 7 met elkander verménigvuldigd en het producT; door 8 gedeeld, Vv 5 komt
666 GRONDBEG. der CIJFFERKUNSï.
komt 4 guld, j\ ftuiver voor het beloop van i Mark.
IV Voorbeeld. Ah 39 pond kost 13 gl. 17 ftuiv. 14 penn., hoe veel pond kan men dan koopen voor 655 guld. 10 ftuivers $ Stelling en berékening. 13 gl. 17 ft. 14 p. - z$ pond - 655 gl. 10 ft.
2° (7 tt 20 « r .
«77 Univ. ispfo ftuiv.
t$ (8 me: 8 tot duit.
jf^^af duiten 230 v
i** —
5^1 komt 1840 pond
(1
Verklaaring van deefe berékening.) Men maakt eerst de 13 Guld. 17 ftuiv. 14 penn. tot duiten, daarna de 655 Guld. 10 ftuiv. tot Stuivers, kome 1311 o ftuivers, hier onder zet men 8 om tot duiten te reduceeren; dit gedaan hebbende verkleint men eerst de termen tegen elkander; namelijk, 1° i de 2223 en 39 door 3, komt 741 en 13; a°) de741 en 13110elk doorkomt347en4370; 30) de 247 en 13 eik door 13 komt 19 en 1: 4°3 eindelijk 19 en 4370 elk door 19 komt 1 en 230. Na deefe verkleining moeten de getallen 230 en 8 met elkander verménigvuldigd worden, komt 1840 voor het getal van ponden die voor 65 c guld. 10 ftniv. kunnen gekoft worden.
Deefe voorbeelden tot opheidering van het tegenwoordig geval genoeg zijnde, zullen wij tot oeffening van den leefer de volgende Hellingen opgeeven. "
lil B.II.K XXX.\L. Ov. den Régel van Drien 667
1°) Als 1 Last kost 43 guld., hoe veel koften 17 Last 13 mud. en 2 fchépels.'
Andw. 752 guld 10 ftuiv.
2°) Liesveel beloopen 29 Schippond Ti pond en 10pond, het Schippond tot 52 guld.%
Andw. 1538 guld 6 fluiv. 10: penn
30) Als 1893 pond kosten 674 gl. 7 fluiv. 10penn. hoe veel kost dan 1 pona?
Andw. 7 ftuiv. 2 penn.
4°9 ^/y 40 Lasten kosten 1917 g#W., Aöö veel dan 1 fchépel? Andw. 8 ftuiv. 14
5 0) Hoe veel pond kan men hebben voor 259 gl. 16 ftuiv. eh 5 penn. als \ pond kost 17 fluiv 12 penn.? Andw. 292^ pond.
6°) Als 1 Z,. 12penn., hoe veel Last kan men dan koopen voor 1587 gl. $ ftuiv. 3 penn.? Andw. 19 Last 22 wMi£»«. Andw. 9387 pond.
§ 744 C. Wij komen toe de laatfte omftandigheid van ons eerfte geval 9 om, namelijk , als de middelfte term met de eerfte of laatfte of mee beide te zamen uit heelen deelen en minderdeelen beftaan. — In de behandeling van dit geval kunnen wij kort zijn, aangezien alles, wat in de twee voorgaande gevallen behandeld is, zich in het tegenwoordige veréénigen.
I. Voorbeeld. Als 1 Laft kost 69 Guld. 7 ftuiv. 2 penn. hoe veel kosten dan 36 Laft 17 mudden 3 Schépels?
Andw. 2542 Gl. 8 ftuiv. 6\ penn. ftel*
668 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
ftelling en bewerking i Last — 69 Gl. 7 ft. 2 pen. — 36 Last 17 m. 3 Sch. 27 m. 20 27
U% fch.-
é4 1387 ftuiv, 259 0 16 73
a •
HH4 penn. 989 mudden; tU GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
37 L. 19 m- 2 fch. - 2616*gl,5 ft. 7p.-1 Last 27 20 27 mud.
! W fch,
268 52325 ftuiv. a
75 16 is
ioi8 mudd. 837207 penn.
4 18
44>i4 fchép. 6>q< 1506^0 <22194 penningen WH *• 1489 tdoorio' tot ftuiv.j
679 ï3i7 «.
6382 138I7 ft. 2 penn.
2716 ■
(o 69 guld. 7 ftuiv. 2 penn. het beloop van één Last.
Verklaaringü Eerst heeft men de 2616 guld. 5 ftuiv. 7 penningen tot penningen; de 37 Last 19 mudde 2 fchépels t ot fchépels gemaakt en voor
1 Last 108 fchépels gefchreeven, door die bewerking is de vraag in deefe veranderd: als 4047 fché. pels kosten 837207 penningen, wat kosten dan 108 fchépels? Eer men deefe ftelling 'opgelost heeft, zijn eerst de 4047 en 108 eerst door 2 en daarna door 3 verkleint, in plaats van welke getallen men verkreegen heeft 679 en 18. Eindelijk de ftelling uitgewerkt hebbende, heeft men bevonden, dat 1 Last kost 22194 penningen, die tot guldens herleid zijnde, bedraagen 69 guld. 7 ftuiv.
2 penn.
III Voorbeeld. Als 3 Schippond 4 Lijspond 5 pond hossen 314 guld. 4 ftuiv 9 penn.y
hoe
ÏII. B. II. H.XXX.L.Ov.den Régelvan Drien, 67 i
hoe veel kosten dan 19 Schippond 18 Lijspond 10pond? Andw 1947 guld. 4 ftuiv. 12 penn.
3S P.4L-P. £p.~3i4g.4ft«9P- 19S.18L ^p.
20 (1 20 20 (2
64 Lijsp. 6284 ftuiv. 398 Lijsp. té v3 '6 ^ (3
193 derde deelen 10055^ pen. 1196 derde deelen van Lijsponden 100553 van Lijsponden.
9049/7 603318
deel in 193{120261388 {623116 penningen i 446 tdoor 16 te deelen
60 r ■
223 3894*412 P-
308 •
1158 1947 gl- 4 ft- 12 P' (°
Verklaaring. De eerfte en laatfte termen tot derde deelen van Lijsponden gemaakt (het welk hier plaats kan hebben, aangezien 5 pond één derde en 10 pond twee derde van een Lijspond is) en de 314 Gl 4 ftuiv. 9 penningen tot Penningen gereduceerd zijnde is de vraag veranderd in deefe: als 193 derde deelen van een Lijspond kosten 100553 penningen hoe veel kosten dan 1196 derde deelen van een Lijspond ? welke ftelling volgends den algemeenen régel van § 733. uitgerékend zijnde, voor de waarde van 19 Schippond, 16 Lijspond en 10 pond. komt 1947 Guld. 4 ftuiv. 12 penn. Meer Voorbeelden tot oeftening i°) Hoeveel kost 11 pond 7 oneen, als 1 pond kost \7 ftuiv. 10 penningen? Andw. 10 Guld. l ftuiv. 9Ï penn» 2°)
67a GRONDBEG. der CIJFFERKUNSlt
2°) Als i Last Groninger-Maat host 78 Guld. 10 ft. 4 hoe veel bekopen dan 2 9 .Lsw 31
muaden en 11 Spint? Andw. 2352 G/. 5 /?a/y. o|' penn.
3 °) /fte yec/ bédraagen 19 Schippond 12 Xz/f/oaa" (?« 10 _po«rf, /o? 54 Guld. 19 y?«/j», 4 />e»«. het Schippond? Andw. 1079 Gl 1 ft. 15 -penn.
4°) -^/y 15 Schippond 3 Lijspond 5 /ras* 537 Gz/W. 9 y?azV. 6 /zoc veel beloopt dan 1 Schippond? Andw. 35 Ga/V % ftuiv. 12 ƒ><:««. 1
5° ) .Zo 12 13 mudden 2 Schépels kosten 958 Gulden 7 ftuiv. 3 jö4 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
ftaat; door die bewerking worde de tweede terra een heel getal, ("dewijl het vast gaat, dat een gebro. ken of gemengd getal door de noemer van de bijgevoegde bteuk vermenigvuldigd zijnde, het produ£l een heel getal is,) ook zijn de producten 12. pond en 71 ftuivers van gelijke waarde, en de ftelling is dus door de multiplicatie in deefe veranderd: als 12 pond kost 7' ftuivers hoe veel dan 307 pond, die volgends den algemeenen régel uitgewerkt, voor het beloop.vin 307 pond geeven co Guld. 16 h ftuiver. (a)
Uit de verklaaring van de berékening van het bovenftaande voorbeeld, blijkt zonneklaar ,, dat ,, zo bij de midaelfte term een breuk ftaat of ,, dezelve wezenlijk een breuk is, die middelfte „ term met den noemer van die breuk most wor„ den verménigvuldigd, maar dat dan ook de ,, voorste term met dien zelfden noemer moet ver„ mdnigvuldigd worden, om de gelijkwaardig. „ heid of évehrédigheid der twee eerste termen ,, met te verbreeken'\ Meer Voorbeelden tot oeffenirig.
lv° ) Als 3 pond kost7- gulden, hoe kosten dan 37 pond'? Andw. 10 guld. 15 ftuiv. 133 penn,
2°)
F (d) Men kan ook uit een ander besinfel de b.'ré'kening
verklaaren. Als rri ftuiver friet 4 gernu tipiceerd
wordt, zijn het produft 71 eigen)yk quart-ftuiv rs of oortjes en de ftelling is nu in deefe veranderd ; „ Als 3 pond kosten 71 oortjes hoe veei dan 307 poni? om welke uit te rékenen 71 met 307 en het produdt door 3 meet gedeeld worden de uitlomst, die oortjes zijn moeten nog door 4 gedeeld worden, om dezelve tct ftuivers te maaken. Men moet, de zaak uit dit beginfei befchouwende, eerst door 3 en dan door 4 daelen, het geen het zelfde geeven moet als boven, waar men in eens af door 12 gedeeld heeft.
III. B. II, H. XXXL. Ov. den Régel van Drien.6j$
2.0) Als i elle kost 4 guld 12 | ftuiver hoe veel dan 107 ellen? Andw. 494 guld, 171 ftuiv.
3°) Als 7 ellen kosten 17 gulden 11 ftuiv. 7;penn, hoe veel dan 113 ellen?
Andw. 283 guld. 13 ftuiv. 14-;' penn.
4°) ^/f 100 r5 GRONDBEG. der CÏJFFERKUNST.
die uitgewerkt zijnde, voor het gevraagde 35^ ftuiv. geeft.
ü Voorbeeld. Als \l) pond kosten 5 gl. O ftuivers 11penningen, hse veel 371 pond? Avdw. 374 gula. 6 ftuiv 1 penn.
Stelling en Berékening, II'; pond—5 gl. 9 ft. 11 p. - 171 pond.
té derde— •
t (pönd 109 ftuiV. tin derde p.
(1 16 159
titê 351 i? 5 3159
55809 penningen
16) -
34£[8 ftuiv. 1 penn.
Ï74 guld. 8 ftuiv. 1 penn. het be* loop van 371 ponden. Verklaaring'} In het eerste lid zijn de n; pond tot derde ponden gemaakt, als ook de 371 pond, waar door de vraag veranderd is in deefe : als 35 deide ponden kosten 5 gl. y ftuiA. 11 penn. hoe veel kosten dan 1113 derde ponden ? — de f guld. 9 ftuiv. 11 penn. tot penningen gemaals zijnde, komt deefe ftellmg: 35 derde ponden ko* tén 1755 penningen, hoe veel dan 1113 derde ponden ? Na een verkleining van den eersten en tweeden term door 5 en nog ééne van de eersten tégen den derden term door 7 • komt na behoorlii ke berékening 174 guld. 8 ftuiv. 1 penn.
Het
2IL B. IIK XXX, L. OvJen Régel van Drien. 677
Hec blijkt uit deefe twee voorbeelden, „ dat „ zo in eene ftelling van een régel van drien, „ de eerste of laatfte term met een breuk is aan„ gedaan, zulke term altijd door den noemer van „ die breuk verménigvuldigd moet worden, om „ een heel getal te verkrijgen, terwijl de eer„ ft en term, zo de breuk bij de agterfte term „ ftaat, en de laatfte, zo de breuk bij de voorfte „ term ftaat, met dien zelfden noemer moet ver„ ménigvuldigd worden. *
Meer Voorbeelden tot oeifening.
i° Hoe veel kosten f- ellen als 1000 ellen kosten U!S gulden* Andw, 6 gulden 19 ftuiv 6 penn.
20 Als 1 pond kosten 3 gulden il ftuiv. 8 penn hoe veel kosten dan. jWpond?
Andw 25 guld. 12 jtniv- 1 af penn.
30 Ah hl elle kosten 7 ftuiv 10 penn hoe veel kosten dan 125 ellen? Andw. 30 gidden 10 ftuiv.
4° Als 12I pond kosten 11 guld, 4 ftuivers 13 penn. hoe veel dan 111 pond? Andw. .194 guld. 8 ftuiv. 15'j penn,
% 747 C De twee gevallen die in de twee voorgaande § % verhandeld zijn , bevatten de twee yoornaame régels, die bij de uitrékeningvan de ftel. Img van een régel van Drien in het gebroken te pas komen. Wij zullen om alles bij één te hebben hier eenen algemeenen régel voorfchnjven, dezelve door de lebets van de daadelijke uitwerkinovan dne voorbeelden ophelderen, en dan nog eemge vraagen tot oefening ter néder ftellen.
ALOEMELNEN RéüEL
10 „ Breng (eerst indien het nodig is) elke X x 3 term
6>8 GR0ND3EG. der CIJFFERKUNST.
5, term tot zijne minderdeelen', (het geen alleen 9, nodig is indien bij zulk eene term deelen en, ?, minderdeelen ftaan.)
a° „ Verménigvuidig elke term, die een „ breuk is of die een breuk bij zich heeft, met j, den noemer van die breuk, dan komt ''er al~ „ tijd een heel getal voor in plaats"'.
3° „De noemers der breuken die bij het „ voorfte getal getal ftaat, zet men onder het „ agterste en die bij het middelfte en agterfte ,, getal ftaan, zet men voor aan: dee^e dienen in „ de berékening als inulciplicancen of faélors, ,, waar mede of de voorste of de agterfte term „ moet verménigvuldigd worden".
4° „ Eer men nu verder gaat, onderzoekt
men of niet de voorste term of een faclor van 5, dezelve tégen de middelfte of agterfte en zijn „ faclor kan verkleint worden, en zulks mogelijk „ bevindende, verkleint men in de daad zoo lang 9, en zo ménigmaal de verkleining mogelijk is".
5 ° Als "er nu geen verkleining meer plaats „ 'kan hebben verménigvuldigt men de middelste „ term met de agterfte en zijne faclors, en deelt f, het produel door den voorsten term en zijne j, faclors , en dan is het komende quotiënt de ge~ 9, vraagde vierde évenrédige'1''.
I Voorbeeld. Als 7\ pond kost 24 guld. 16 ftuiv. hoe veel bedraagen dan 103^ pond?
Andw. 331 gl. 9: ftuiv.
Stel.
III. B. IIH. XXX. L.Ov.den Régel van Drien.679
Stelling en berekening. 7| pond — 24 gl. 16 ftuiv. — të$% pond.
tt 1=43
i$ 4i>$ Univ. 4 (1 3 l6 (16
19888 3)
6ó2,|g? ftuiv.
het beloop van 103 £ pond 331 guld. a\ ft.
Verklaaring. Men vermenigvuldigt 7\ pond met 4 komt 31. Voords 103,-!, pond met 12, komt 124^ Eindelijk maakt men 24 gl. 16 ftuiv. tot ftuiv. komt 496. De 12, noemer van de breuk
bij het agterfte getal zet men onder de 31 ■ en
de 4, de noemer der breuk bij de eerste term zet men onder de laatfte term. Nu veikleint men 4 tégen '2 door 4; 31 tégen 496 door 3 en de. wijl men nu niet meer verkleinen kan, vermenigvuldigt 1243 met ié en deelt het product. 19888 door 3 komt 6629', ftuivers voor de begeerde uitkomst — aan 331 gulden 9) ftuiv.
II Voorbeeld. Hoe veel kost 1 Last als voor arj last betaald wordt 107 guld, %\ ftuiv,
Andw. 51 guld. x\\ ftuiver.
X x 4 Stel-
58o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
Stelling en Bewerking. 1 2,1 Las: — 107 guld. 8|, ftuiv. - 1 Last.
H • .ft
4 21481 ftuiv, 3 '
C5 ' r-
%m 171P —(3 m 5157 5)—
iP3ji| ftuiv.
51 guld. n| ftuiv. het beloop van één Last.
Verklaaring. Men maakt de 107 guld 8} ftuiv. tot ftuivers, dan is de ftelling: als 2T; Last kost 21481 ftuiv. hoe veel 1 Last? De eerfte terravcrménigvuldigt men met 12, de tweede met 4 om heele getallen te verkrijgen. - Voords zet men 12 de noemer der breuk bij het voorste getal ftaande onder het agterfte en 4 de noemer van de breuk bij het tweede getal ftaande onder het voorste. Daar na verkleint men 4 tégen 12 door 4 en 25 tégen 8595 dooi 5 - en naardien 'er nu niet meer verkleint kan worden, verménigvuldigt men 1719 met 3 komt 5157 dit deelt men in 5, komt 10315 ftuiv. ^51 guld. n| ftuiv. voor het beloop van 1 Last
lil Voorbeeld. Als 21 ellen kosten 84 gl. ilf ftuivets, hoe veel kost dan \6* ellen? b ' , Andw. 66 guld. 2 ftuiy, jra» penn.
Stel-
111. B.II. H. XXX.L. Ov. denRégehan Drien, 681
Stelling en Bewerking,
| y?awr hoe
veel kosten dan i9i mark ? Andw.' 590 9 y?zvw. 5,' ö
8°; 12 />ö^ te i63= gulden, hoe veel kosten dan 117* oneen? Andw. 10 gulden '4ftuiv. I ff penn. 0 T'
9°) Als 2 iï&r* tee« ,7| Schelling, hse l^l/ostendan 17) Mark 5i oneen? Andw. 5 ^o»i Vlaamfch 2 ÓV4 10 r groot,
io°,\ Als de i van \ ellen kosten £ Daalderhoe veel Ducaaten bedraagen dan \ van de helft van nf ellen? Andw. f; Ducaat,
11 °) Als een derde van ander halve derde part van 1 elle , ju» 31 ftuiver kost, hoe veel gulden kosten Jan ' en l pond? Andw. & gulden
Gö»*g/. ^/r I a<* I van s maal 1 \7\p0nd 120' wtófc» + i| Ducaat kosten? Andw. ^ pond *'
C
IIt B.IÏ.H. XXX. L. Ov. den Régel van Drien 6% 5
C. Aanwijzing van den aart der vraagen, waar in den régel van Drien moet gebruikt worden»
% 748 Als de leefer de régels, die wij tot de uitrékening van de gevallen van den regel van Drien opgegeeven hebbenJ volkomen verftaat, is hij genoegzaam toegerust met alle werktuigen die hi nodig heeft, om zijne aangeleerde kundigheden in de daaglijkfche noodwendigheden van het leven tot verdere oefening en bekwaammaaking aan te •wenden. Er ontbreekt hem nu nog maar, dat wij hem in korte woorden de voornaam fte zaaken optellen in weke hij de ftelling van een régei van Drien gebruiken moet.
Men kan den régel van Drien in de volgende gebruiken.
6 740 I In het berékenen van de waarde en het beloop van de Goederen en Koopmnnfchappen, ten opzichte van welke het altijd zéker is, ,, dat de Geldwaarde der goederen altoos éyenre„ dig is aan derzelver hoeveelheid, die^ bij ellen, „ ponden, lasten enz gemeeten wordt" - Al de voorbeelden die wij in deefe les opgegeeven heb* ben (behalven eenige weinige; behooren tot deeie berékenng.
s 750.II. Tn het berékenen der per Centen, dat is in het beiékenen van de Imeresfen , die met zékere Cap^taalen in bepaalde tijden gewonnen zijn . en omtrent welke her zéker gaat
A ,Dat de Win fen of Interes fen die in dezelfde tijden met onderfckeidene Capitdalen gewonnen " zijn, in dezelfde réden van de Capitaalen zifib
686 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
„ dat is zo veel het Capitaal grooter of kleiner „ wordt, zo veel maal moet ook de winst trrsoter „ of kleiner zijn." °
B. „ Dat, zo de Capitaalen gelijk en de tijden ,, ongelijk zijn, de wit!fen in réden van de tij „ den zijn." Zo dat met ïoo Gl: in % Jaar, twee„ maal zo veel zal gewonnen worden, als met die „ zelfde ïoo Guld: in i Jaar.
C. „ Dat de rédens van de winften van de on-, „ derjehetden Capitaalen zamengefteld zijn a) „ uit de rédens der Capitaalen b,en uit de-rédens„ der tijden, in welks deefe Capitaalen op inte„ rest ge/laan hebben."
$. 751. IIL In de Interest van InterestRékening, waar door men verftaat, het beloop van Ccpitaal en Interest van een Capitaal na verloop van eenige tijden te berékenen , onderfrellende dat, na verloop van elke tijd, de verlocpene Inte' rest bij het Capitaal gevoegd, en deefe Som als éen vermeerderd Capitaal wardt aangemerkt dat m den volgenden tijd, tégen den bepaalden Inte
rest winnen moet. Men kan een Interest van
Interest-Kékemng door de uitrékening van 'zo veele régels van Drien vinden als er tijden gegeeven
§ 7'12
(«) Zo veele régels van Driën zijn 'er niet nodig aJs
men de Logarithmen wil gebruiken, dit zullen wii
den weetgierigen Leefer kortfijk aanteonen 1 t«, ff? S^^CaP'tol A, de Interest van 1 in één Jaar 0f ééne t.,d w het getal,der Jaaren of tijden t; ha beloop van Capitaal en Interest voor dien tiid S
Nu is i : 1 4. w £s A • (1 + w) V A he- h loop van Capitaal en Interest na éénen tijd ~
1 : ? + w-tsU 4. W)X A : (1.4. w)*X A s;
het
III. B. II. H.XXX.L,Ov.den Régelvan Drien, 6*87
§. 752. IV. In de Rabat-Rckening,waar door men de contante waarde berékend van een Geldfom, die na verloop van A tijden te betaalen is, kortende zékeren interest ten 100 'sJaars, welke contante waarde zo bepaald moet zijn,.dat, indien dezelve op interest van interest in die A tijden tégen gemelde interest ten 100 uitgezet'wierdt, het beloop van Capitaal en Interest, na die A tijden, bedraagen zal de Som, die in A tijden moest betaald worden, zo dat men 4 ten honderd kortende,
de
het beloon van Capitaal en Interest in twes tijden of jairen.
1:14- wS (1 4- t*0;XA:(i 4- ")!X ^ het beloop van Capitaal en Interest in drie lijden of jaircn.
Als men de rekening verder opmaakt, zal men bevinden, dat het beloop van Capitaal en Interest in de volgende tijden zal zijn (i 4- w}«X A , (i 4- W)'X A enz- > waar uit men befiuiten mag, dat het beloop van Capitaal en Interest na f jaaren of tijden zal zijn
(i 4- w)t + A t=:S.
Als voor deefe uitdrukking de vergelijking op de Loga» rithmen gefteld wordt, hebben wij
tXLogarühn. (i -f- w) + k'gyith. A £2 logarith. S.
Men za! dus de logantfcmas van Capitaal en Interest vinden, als men de Iogarithmus van Ci 4- w) met t het getal der Jaaren verménigvuldigt en by he> produft de Itgaiitbmus van de hoofdfom telt ——
Vo o r b e b L d : Hoe veel bekopen Capitaal en Interest van 26co Gulden in 30 Jaar, a 3? per Cento 's Jaars Interest van Interest?
Hier isAe 2600, en 100: 3j t=s 1: 0,035 ta wenf= 25 nu is kg. U 4- w) — \»g- '-°35 s= 0.0149403
verm; met f. ts 26
komt t X H- + o. 3X84478 log. A e= 7,4149733
hg. S. t=: ï,So342ir hg. van 6359,5 het beleop wan Capitaal e» . Interest na 26 Jaar.
688 GRONDBEG. der CIJFFÉRKÜNSf.
de contante waarde van een Som, over een Jaar betaalbaar, willende vinden, zeggen moet, 104 over één Jaar te betaalen zijn 1 co contant waardig, hoe veel dan de gegeevene Som over één Jaar betaalbaar? ^b)
§. 753. V. Tot de interest rékeningen kan men nog tellen : A) De berekening van het rabat der Goederen , die op tijd gekogt en gereed betaald worden, welke korting ftandvastig 8 ten honderd in het Jaar is, en zo gerékend wordt, dat voor elke 108 over één Jaar te betaalen, 100 gereed betaald worden, en ook ten opzichte van den tijd voor, 12', 15, 18, at , 30 en 33 Maanden bepaald wordt. B_) DeProvifie-rékening, zijnde deProvifie, die een Makelaar geniet van de waarde der Goederen, die hij voor zijn Principaal koopt en verkoopt, en van i tot 2 per Cent of nog meer gefteld wordt. C) De /Isfnrantie-Rekening, waar doormen verftaat het berékenen der Asfurantie premie op Goederen , Schepen en Huizen tégen 1 a 3 ten honderd.
VI.)
(6) Om een formule (e vinden, door welke men ook, met behulp der Logarithmen , de contante waarde kan vinden, die over n Jaartn of tijden te betaalen is. Steld men S voor de gegeevene Som, C voor de Contante of tegenwoordige waarde, w de korting van 1 gulden in 1 tijd of 1 jaar, dan worde de contante waarde dus Helkundig berékend ;
1 w : 1 t=S :.——- X S S3 de tégen-
woordige w rde van een fom over een Jaar betaalbaar.
I 4. w : / XS ^
• 1 + w (1 + w) 2^
de tegenwoordige waarde van een Som over twee Jaar betaalbaar.
Dus
HL B. ILH.XXX.Les Ov, den Régel van DrienëSg
F D.) De reductie van Bank- tot Kasgeld en van Kas- tot Bankgeld. Welke dus berékend wordt, dat men voor 103 Guld; of meer Courant-geld ioo Gulden in de Wisfeibank kan hebben, door welke bepaaiing dan eerst kan gevonden worden, hoe veel Courant gold men geevéri moet, om een gegeevene Som in de Wisfeibank te hebben, en dan wéderom een gegeevene Som Bank-geld totCasgeld te brengen, moetende in beide gevallen de Agio bekend zijn, dat is hec geen men ten ico geven moet om i co Gulden in de Bank te hebben* €. 7^4. VI. In de Compagnie, of GezelscHAPS-RéKEjsiNG, waar door men bepaalt
hoe
Dus voordgaande, zal men voor de contante waarden der fommen, die over 3, 4, 5 un t Jaaren betaalbaar zifn, deefe uitdrukkingen, vinden:
_J y„ __J vs , 1 VS en
(1 4- w)3 U + w)4 ' t1 + w)>
1 tXS. Hier uit maakt men deefe vergelijking:
(1 + w)
Ê - 7r+^)txs
welke in Logarithmen overgeüragt zijri. log. C = log. S - f X log. (1 + w). Voorbeeld: Éen Som van 5864 Guldens moet over tien Jaar betaald worden, hte veel is de Contante waarde, «« ■men kort zamengeflelaen Interest tegen 5 per Cent?
Hier isS d 5864.; en t ss 10. ico; 5=1: 0,05 =w 1 -J- w ss 1,05. De beréken'ng is deefe: log. (i 4. w) ss 0,0211893
met t ss 10. verménigv.
t X log. (1 + = 0,2118930 ingetrokken.' log. S ss 3,7681940 I
log. C ss 3*55*3310 — l°g- van '3*00 dg ae'vraagde Contante waarde.
Yy
6*90 GRONDBEG. der CIJFFERKTJNST.
hoe veel elk van de winst of het verlies moet toegerékend worden, naar evenredigheid van zijne injaagt, als eenige perfoonen elk eene zékere Som hebben ingelegd of bijééngebragt, om met die ganfche Som te zamen te negotiëeren. v
Voords kan den régel van Drien nog in veele andere gevallen gebruikt worden, die wij alle hier niet zullen opnoemen, te meer, om dat elk, die onfe gelegde grondeu goed verftaat, inftaat zal zijn om alle vraagen, van wat aart ook, te kunnen uitrekenen.
- - .
XXXI. Les. Over de omgekeerde, zamengefielde en aanééngefchakelde régels ' van Drien,
A. Over den omgekeerden régel van Drien. §• 755-
TT? r zijn veele vraagen , die in het eerfte aanzien Jgjj en i° de bewoordingen , waar onder zij voorgedraagen zijn, tot de ftelling van een régel van JÜricn fchijnen te behooren , maar die évenwei nader ingezien zijnde, van een geheel anderen aart zijn.
Zodanige vraagen zijn bij voorbeeld de volgende : (i °. Als 36 Werklieden in den tijd van 65 dagen zéker werk kunnen maaken, hoe lang zullen dan 45 Werklieden daar toe nodig hebben? On* derftellende, dat de vermogens der Werklieden ge* lijk zijn, dat is; dat de een op éénen dag éven zo veel werkt als den anderen.
20. Gepeld, dat een Capitaal van 2000 Guh
den
ÏIL B.II. H.XXXIDOngek.RégelvanDrien. 691
den tegen 4. ten honderd uitflaande. in 5 Jaar 400 Gulden wint, hoe lang zal dan een Capitaal van 3000 Gulden tégen 4 ten honderd moeten uitgezet worden , om met dien zelfden Interest ten ïoo insgelijks 400 Gulden te winnen?
Deefe vraagen hebben wel hec aanzien van de ftelling van een régel van Drien; maar de vereischtcns, die wij § 728 hebben opgegéeven, ontbreeken, en hec algemeene Voorfchiitc § 731 kan dus. op dezelve niet toepasfelijk zijn.
In de eerfte vraag is een overéénkomst tusfchen het getal der Werklieden en den tijd waar in zij hec bepaalde werk verrichten; maar deefe overéén komsc is niet zoo, dat de tijd grooter wordt, naar évenredigheid dat hec getal der Werklieden toeneemt, hoedanig de overéénkomst tusfchen beide zou moeten zijn, "(volgends § 729) om de bewerking van den régel van drien op de vraag te kunnen toepasfen ; intégendeel — hoe grooter het getal der Werklieden is , des te minder tijd wordt 'er
vereischt om het zelfde werk te doen. Zo is
het ook met de tweede vraag gefteld , in welke het Capitaal grooter wordende , de tijd zo veelmaal kleiner moet zijn.
I. WelkeVraagen tot eert omgekeerden régel van Drien behooren.
%. 7<;6. Als men zegt, dat een vraag door den omgekeerden régel van Drien kan opgelost worden, moet in zulk eene vraag het voJgendete vinden zijn:
1°. Moeten 'er drie getallen gegeeven zijn, (éven als in den régel van drien) uit welker overéénkomst met elkander een vierde getal, dat gevraagd wordt, gevonden moet worden,
Yy 2 %%
602 GRONDBEG. der'CIJFFERKUNSÏ.
2 °. Onder deefe drie gegeevene gerallen, moeten twee getallen gelijkmaatig zijn, of ten minften gelijkmaatig gemaakt kunnen worden. — Het derde getal moet met het gevraagde van dezelfde foort Zfltf.
3". Eindelijk moeten 'er onder de gegeevene twee grootheden ( of getallen) in zulk een verband met elkander fia^n, dat zo reeimaal qls het eene getal grooter of kleiner wordt, het andere getal integendeel zo veel maaien kleiner cf grooter moet geiieid worden. Dezelfde overéénkomst moet 'er zijn tusfchen hec derde van de gegeevens en het gevraagde,
"Men moet volkomen verzekerd zijn, dat deefè hoedanigheden in een vraag gevonden worden, eer men befjuiten mag, dat zulk eene vraag toe den omgekeerden régel van drien behoort.
II. Hoe een Vraag van een omgekeerden régel van Drien wordt opgefteld.
%• 757' ®m een vWég van een omgekeerder» régel van drien op te ftellen , bedient men zien van dit Algemeene Voorschrift.
x°„ Na hst, bekende van het gevraagde onder*' „ fcheiden te hebben, zoekt men uaar een getal, ,, geltjkfoortig''met het gevraagde, en dat geial „ gevonden hebbende, Jchrijft men het zelve in „ het midden
„ c° 5, Vooraan ftelt men het getal, dat met het 5, reeds opgefekreevene in die betrekking ftaat, „ dat het eene grooter wordende , het andere zo veelmaal kleiner wordt, het geen gedeelte,, lijk uit de bewoordingen der vraag en ge,, deeltelijk uit de natuur der zaak" gekend moet , worden." o>°■>■> Het
IIIB ILH.XXXLL.Omgek.RégslvanDrien.693
30,, Het derde der bekendens, fchrijft men „ agter aan'. welk getal met het onbekende de -
zelfde overéénkomst heeft als de twee eerst „ opgeftelde."
De twee vraagen, die wij § 755 gefield hebben, zullen naar die voerfebrif: aldus opgefteld worden: Deeerlle 36 Werkl—65 dag.— 45 Werkl. De tweede aooo Capit. — 5 Jaar—300 3 Capit.
* De Leerling moet zich oeffbnen, cm alle foortgelijke vraagen vaeidig naar dit voorfebrifc te kunnen opftellen, het geen hij doof eene aanhoudende oeffening alleen zich eigen maaken kan.
Hl, Hoe de ftelling van een'' omgekeerden régel van Drien kan uitgewerkt worden.
§. 7"8. Hier moet wéderom de régel, om de ftellmg op te losfèn, uit de natuur van de vraag afgeleid worden.
•Laat ons de eerfte ftelling neemen :.deefè is, zoals wij daar éven zagen: 36 Werklieden — 65 dagen —- 45 Werklieden. De 36 Werklieden ftaan met den tijd van 65 dagen in die betrekking, dac zo veelmaal als het getal der Werklieden minder wordt, de tijd, die tot het volbrengen van het werk nodig is, éven zo veelmaal moet vermeerderd worden. Dus de 1 van 36 Werkl zuilen in smaal 65 dagen, \ van 36 Werkl. in 3 maal 65 dagen, j van 36 Werkl. in 4 maal 6^ dagen, 55 van 36 Werkl, ( dat is één Werkman) in 36 maal 65 dagen, het zelfde werk doen, dat 36 Werklieden in 65 dagen met hun allen doen.
„ Indien men dan de middelfte term 65 dagen Yy 3 „ met
694 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
„ ma 36 vermenigvuldigt, zal men daar door weecen, dar. één perfoon in 2340 het geheele „ werk zal voltooijen.
36 Werklieden — 65 dagen — 45 Werklieden, met 36 verm.
195
2340 dagen, die één perfoon no» dig heeft om het geheele werk af te doen. Na deefe eerfte bewerking, kan men zich de vraag aldus voordellen : als 1 perfoon in 2340 da. gen het werk kan afdoen, hoe lang zullen 45 peribcnen'daar toe nodig hebben ? — Als men nu wé'. dsrom het zelfde beginfel gebruikt, zal menbefluiten, dat het getal der Werklieden nu 45 maal grooter wordende, alleen een vijfémeertigftc deel van den tijd voor hun zal nodig zijn, om liet zelfde werk te maaken: men zal daarom. 4' van 2340 moeten neemen, om het begeerde te vinden, en daarom 2340 in 45, het getal van den agterfte terra, moeten deelen, waar door men 52 dagen vinden zal, die 65 Werklieden van noden, hebben, om gemelde werk te maaken. De geheele bewerking is nu:
36 Werkl.
III. B. II.KXXXI.L.Gvigck Régel vanDrien.693
36 Werkl. 65 dogen 45 Werkl.
mee 36 verménigv.
?9° ' -95
komt 2340 dagen, die i perfoon nodig 90 beeft om hec werk te doen.
" " ' lp , ,
deel in 45) -—
keme 52 dagen, die 45 perfoonen daar toe nodig hebben. Op gelijke wijfe redeneerende, kan men ook de tweede vraag berékenen:
2000 Cap. 5 Jaar 3090 Capitaal,
met 200.0 verménigv.
10,000 Jaar, die men zou nodig hebben, om met ééne gulden die winft te doen,
deel in 3000 —— —~
komc 3; Jaar, of 3 Jaar en 4Maanden voor den tijd, die vereischc worde,om met 3000 gulden dezelfde winst tégen 4 ten 100 in het jaar te doen.
§. 759. Deefe oplosfingen zijn natuurlijk die, welke iemand, na rijpe overweeging der zaak', in het eerst volgen zou; zij komen overéén met deefen régel, die men gewoonlijk volgt , en bij de meefte Schrijvers vindt opgegeeven.
Regel., Als men de ftelling van een régel 5, van Drien naar het voorfchrifi van §. 757* „ heeft opgefteld, moet men de twee voorfte getal' Yy 4 len
6$6 GRO^DEEG. ber CIJFFERKUNST.
„ len met. elkander multipliceeren en hel komende ii pfcdüSi in* den agterjlen term deelen.
% 760, Aanmerkingen. I. In elke ftelling van een omgekeerden régel van Drien, maaken de drie bekendens met het onbekende een omgekeerde proportie, (zie wat 'er door verftaan woidtXXVJH. Les 5 684^ Uit de twee opgcgeevene Vraagen vormt men de twee volgende omgekeerde proportien , (het gevraagde x noemende.)
36 werkl.: 45 werkl. omgek, als 65 dagen: * dag. £ 000 Capit: jjö6o Capit. omgek als 5 Jaar tiVjaa*. Als men den régel van pag. yaa. om de vierde omgekeerde évenrédig 'te vinden), met den bovenftaaijdeu vergelijkt, ziet men dat hij met denzelven, uitgenomen in de fchikking, volmaakt overéénkomt.
JL Eer men tot de bewerking van don régel overgaat , mag men het agterfte getal tégen het middöfté of tégen" hec voorfté verkleinen , en na dé verkleining , de'getallen di2 men in plaats verkreegen heeft, naar den régel van 5. 759 bewerken, om het gevraagde te verkrijgen.
Berekening van het eerfte Voorbeeld, na voor' ïfgaande ver klein in aen
-ó Werkl. — fé dag.- 4S WeikHedèn,
'4 ' ' '13* r >' $
<4 ■ Cl
5? dagen.
Hier :s e&st 36 tégen 45 door 9 verkleint, dit kan geen' verandering in het begeerde getal veröorzaakèh, aangezien hec middelfte met het eene getal ge.Jt;!tipiicotrd en dat producl door hec andere getal moet gedeeld worden. Eindelijk heeft men de 5 *fgcn &5 c3oor 5 verkleint en j en 13 in plaats
ver.
ÏII.B. /ƒ. AXXI.L. Omgek,Régel vanDricnfig?
verkreegen: die kun ook geen verandering geeven; want dewijl het middelde getal, door hèt agterfte moet gedeeld' worden, 2al een gelijknaamig deel van het middelfte door een gelijknaamig deel van het agterfte gedeeld , het zelfde quotiënt moeten geeven, zie § 657.
III. Als bij zommige léden van de ftelling deelen en minderdeelen van' Munten, Maaten en Gewigten gevonden worden, z~u men die eers,t tot minderdeelen moeten herleiden — en daar bij onder het oog houden, dat (g'drjk in den regten régel van Drien.) de voorfte en'agterfte termen eer men den régel mag tcepasfen, tot dezelfde minceideelen moeten'gebragt worden: voords da: na de daadelijke toepasfing van den régel, de uitkom.se een getal van die minderdeelen is, waar in de middelfte term is herleid geworden,
IV. Als de termen geen heelen,'maar gebrokéné of gemengde getallen zijn, moeten éven eens als in den reebten régel van Drim ./ elke term eerst met den noemer van zijn bijzijnde'breuk vermér.igvuldigd worden; daar na moet men de eerfte term met de noemer van de breuk van de agterfte term verménigvuldigen en de agterfte term mee de noemer van de breuken der voorfte en middelfte termen- (Alles hertégengeftelde van het geen daar omtrent in den regten regel van Drien plaats heeft.)
Het zal nodig zijn, dat wij zulks" nog door een voorbeeld ophelderen : Gefield , dat een recht vierhoekigeKamer\dle \ 6\ voeten lang, \\\breed is, tot op de lengte van 14? voet zal moeten gebragt worden, hoe lang zal dm de breedte moeten ge' nomen worden, om de Kamer dezelfde ruimte te doen behouden i Welke vraag door een omgekeerden régel van Drien zal moeten opgelost worden, Yyirj aan*.
698 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
aangezien de lengte kleiner wordende, de breedte in dezelfde réden moet verminderen. Stelling en berékening: iöj lengte — iij breedte — 14;- lengte
7 15 t
1 — (7 4
105 2
8) —
13I voet breedte In deefe berékening is eerst elke term met den noemer van zijn bijftaande breuk verménigvuldigd, de eerste term is met 7 de noemer van de laatfte breuk verménigvuldigd; de agterfte met 3 de noemer van de eerfte en met 4 de noemer van de laatfte breuk. — Hier door blijft de betrekking van de voorfte en agterfte termen onveranderd. Na behoorlijke verkleining der termen en berékening van den régel, vindt men voor de begeerde breedte 13! voeten.
V. Eindelijk dient nog te worden opgemerkt, dat men elke ftelling van een omgekeerden régel van Drien zou kunnen uitrékenen door de voorfte en agterfte termen met elkander te verwisfeien, (dat is de voorste term in plaats van de agterfte en de agterfte term in plaats van de voorfte te ftellen,) en deefe nieuwe ftelling der getallen naar de régels van een regten régel van Drien uit te rékenen. — Wij zullen van deefe aanmerking in den zamengeftelden régel van Drien gebruik maaken.
IV. Ver-
JU. B.II.H. XXXI.L.Omgek.RégelvanDrien^.y
IV. Vergelijking van den regten en oingekcer^ den régel van drien mei elkander.
§. 761. De kennis van her onderfcheid tusfchen den regten en den omgekeerden régel ya^Drier, is van te veel gewigc, om dezelve Hechts ten halven te verftaan : het is om die réden, dat wij nog ten overvloede de vergelijking van beide régels zullen opmaaken, op dat het verftand jvan den Leerling daar door te meer opsrefcherpt worde.
1 0. In een regten régel' van drien zijn drie groot heden gegeeven, uit welker overéénkomst met elkander een vierde moet gevonden worden. <- 2 0. In een regten régel van Drien ftaan de bekende grootheden met de onbekende grootheid in een regte proportie.
30. Als een regten régel van Drien § 7 31 is op • gefteld , zijn de voorfte en agterfte termen van ge lijken naam, terwijl het middelfte met het gevraag, de gelijkmaatig is.
4 0. In de ftelling van een régel van Drien is de tweede term altijd in dezelfde réden grooter of kleiner dan den eerften.
i°. Het zelfde heeft in den. omgekeerden ré. gel van Drien plaats.
2 0. Maar in een' omgekeerde régel van Drien ftaan de bekende termen met de onbekende term in eene omgekeerde proportie,
30. Het zelfde heefc ook in den omgekeerden régel van Drien plaats, J wel verftaande, als de ■ ftelling naar den régel van § 757 is opgefchrceven.
40. Maar in een omgekeerden régel van Drien wordt de tweede term zo veelmaal grooter als de eerfte kleiner wordt — en-omgekeerd,
5°. Om
700 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
5°. Om de ftelling vai een regten régel vanDrier uit :e werken, moet mcr de agterfte termen mei elkander verménigvuldi gen en het product door den voerften term deelen.
6°. In een regten régel ven Drien ken de voor fte term tégen de middelfte en agterfte terra verkleint worden.
7°. Eindelijk Zo de termen van een regten régel van Drien met breuken zijn aangedaan, moeten de noemers der breu* ken, die bij de middelfte en agterfte termen ftaan, bij den voorften term, en de noemer van de breuk «"er voorften term bij de agterfte term gezet worden , cm als multiplicaHMer termen te dienen.' ' rz&A&l
Voorbeelden tot Oefiening: '• °) Een Kamer, die 24 voet lang en 18 roet breed is, word 3 voet in de lengte afgeneo* hoe veel voet moet dan de breedte ver. 1 er d worden, om in de Kamer dezelfde : hebben? Andw: 2_4 voet.
2° Als
5 0. In een omgekeer; den légel van Drien moet men in tegendeel de twee voorfte termen me: elkan: der vermérigvnldigen, en ■ het product door de agterfte term deelen.
6. Tn een omgekeerden régel van Drien is het intégendeel de agter-, j fte term , die tégen de voorfte en middelfte kan verkleint worden.
70. Maar zo de termen van omgeseerden régel van Drien met breuken zijn aangedaan , moeten (omgekeerd) de noemers der breuken van de voor| fte en agterfte termen on| der de agterfte term en ; de noemer der breuk van \ de voorfte term onder de ; agterfte term gezet wor. I den, om deefe termen te verménigvuldigen.
ÏII.É.1I.H. XXXI.L.Omgek.Régel vanDrien, foï
2°) Als een Balk van 6 end duim O voet lang is, hoe lang moet een halk van 3 en 5 duim zijn, om zoo zwaar te zijn als de eerfte ? Andw: 25? voet.
30; Iemand, die dagelijks 5' wtyV ««/,
om een zékeren weg af te leggen, 24 dagen , nodig , hoe veel mijlen zal 'hij dan daags moeten afleggen, om dien weg in 16 dagen te doorreifen ? Andw: 8 mijlen daags.
4.0) Hoe veel dagen zal iemand moeten reifen, die 8| mijlen op een dag aflegt,- indien hij 5| mijlen daags reifende, dien weg in 28. 'kan afleggen? Andw. in 17': dag.
5°_) Indien 550 man een werk in 7 Maanden kunnen maaken, ^oe vee/ tijd zal daar toe nodig zijn , indien er nog 25 ffzö.-z Wjr genomen worden? Andw: 6 Maanden.
6°) M?^r «ft /W gemelde werk, dat door 150 ww» ï» 7 Maanden km volbragt worden, in 5 Maanden moet gereed zijn, Aoe veel Werklieden zal men 'dan boven de % 50 «eg
in het werk ftellen? Andw: 100 man.
70) 42 Werklieden, iflfe X2 «»^» ^*gs ■ ■
46 Gl: 11 ftuiv., dat met 760 Gulden in 21 Maanden gewonnen is.
In de tweede ftelling wordt gevraagd naar den tijd die nodig is, om met 650 Gulden Capitaal 36 te winnen. Deefe tijd hangt af van de Hoofd-
lom en van de winst, - en kan door eene
/telling van een' regten régel van Drien en ééne fteiiing van een' omgekeerden régel van Drien ber rékend worden.
ik réken eerst uit, hoe veel tijd men zal nodig hebben, om met poo Gulden 36 Gulden te winnen. Dit kan door een regten iégel van Drien gevonden worden. (Dewijl de tijd grooter moer zijn, om met het zelfde Capitaal meer te win. neri.)
3| winst -— ff Maand. 36 winst
— 4 4
f-b * 1 *
5 144
■ C4
576
5>
115; Maand tijd, die men zal nodig hebben , om met 100 Gulden 36 Gulden te wirnen. Na dat men dit gevonden heeft, berékent men wat tijd 'er nodig zal zijn, om 36 Gulden, die met ïoo Gulden in ii5j Maand gewonnen wordt, met 650 te winnen, deeie berékening vereischc, om dat de tijd vermindert, naar évenrédigheid hec Capitaal grooter wordt, een' omgekeerden régel van Drien. Capt.
ÏII.B.II.H.XXXLL Zameng.Régelvan Drien 705
fóè Cap. 115' Maand —— 650 Cape.
2 576
V r52 117*s Maand "jd, die 'er * 502 *■ nodig zal zijn, om 47 mee 050 Gulden
36 Gulden te winnen.
Wij hebben dus de eerfte vraag door twee regte régels van Drien, en de tweede door éénen regten en éénen omgekeerden régel van Drien kunnen oplosfen. Men heeft in deefe oplosfing kunnen opmerken, dat in elke ftelling, die tot de oplosfing moet dienen, in het eerfte altijd naar winst en in het tweede altijd naar tijd gevraagd wordt ; dit is iets , waar door die foort van vraagen onderfcheiden zijn van een ander foort, die ook door twee of meer régels van Drien kunnen opgelost worden, maar welke régels van Drien moeten dienen, om telkens een grootheid van een andere foort te be' paaien.
I. Welke Vraagen tot den zamengefteldett régel van Drien behooren.
.§ 753. 19. In een'zamengeftelden régel van Drien wordt éven ais in den regten en omgekeerden régel van Drien naar een getal gevraagd; maar daar in deefe régels dit getal ftegts van één ander getal afhangt, met welke het in eene regte of omgekeerde proportie ftaat, hangt het in tégendeel in den zamengeftelden régel van Drien van twee of drie zomtijds ook wel van meer grootheden af; deefe grootheden ftaan elk met hét gevraagde of in eene regte, of in Z z eene
7o6 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
eene omgekeerde réden. — Die getaiien of grootheden, waar van het gevraagde afhangt, moet da Leerling uit de natuur der Vraag leeren kennen; de bewoordingen, waar in de Vraag voorgefteld is, kannen daar toe aanleiding geeven ; men moet, voor dat men tot de oplosfing der Vraag overgaat, overtuigend zéker zijn, welke grootheden met het gevraagde getal in die betrekking ftaan.
2°. Als men zulks in de Vraag gevonden heeft, moeten 'er nog de volgende grootheden als gegeevens ra te vinden zijn: a) Een grootheid, die gelijkmaatig is met het gevraagde getal, en b) , dan nog éven zo veele grootheden, die met dat getal in dezelfde overéénkomst ftaan, als hec gevraagde metde getallen, die in de Vraag van dezelve afhangen.
Zodanige zijn de kenmerken, waar aan men weeten kan, dat een Vraag tot een' zamengeftelden régel van Drien behoort. Het kan een Leerling verwarren , als men alleenlijk zege, dat een zamengeftelden régel van Drien een ftelling is, die door twee of meer regte régels van Drien kan opgelost worden. ( a)
De Vraagen, die wij § 762 opgegeeven hebben, behooren dus tot den zamengeftelden régel van Drien : In het eerfte wordt naar winsc gevraagd; deefe is eersc in de regte réden van hec Capitaal 760 Gulden, en dan nog in de regte réden van den tijd, welke winst dus van twee dingen afhangt, van Capitaal en van tijd: in die zelfde Vraag is nu ook eene andere winst gegeeven, te weeten 3: Gulden, die ook van een Capitaal van 100 Gulden en een djd van 12 Maanden afhangt.
In het tweede Foorbeeld is de tijd, die gevraagd worde, van een gegeeven Capitaal'en een gegeeven Winst afhanglijk. De
(a) Want mei; kan het zelfde eok van den Kctt:ng-régt: 2eggen, en éven wei is deefe van den zameggtftelden iégejjzcer ondexfeheiden. Zie $ 768 & jeq.
lILBJIMXXXIL.ZamengiïégeïvanDrkn-yoj
De zamengeftelden régel van Drien wordt gewoonlijk genoemd Régel van Vijven: en wei, om dat in de meefle Viaagen vijf getallen gegeeven zijn, en dan verdeeld men dien zogenoemden régel van Vijven in twee gevallen: te weeten in een' regten en in een' verkeerden régel van Vijven, na dat de régels van Drien, die tot de oplosfing dienen moeten, of alleen regte, of de eene een' regten ■en de andere een' omgekeerden régel van Drien is. Het komt ons het natqurlijkfte voor, om den zamengeftelden régel van Drien in de drie volgende gevallen te verdeelen:
I. Als de régels van Drien, die tot de oplosfing dienen moeten,' alle regte régels van Drien zijn,
II. Als de régels van Drien, die tot oplosfing dienen moeten, gedeeltelijk regte en gedeeltelijk omgekeerde régels van Drien zijn.
BI. Als die zelfde régels van Drien alle omge. keerde régels van Drien zijn.
Alle Vraagen, die tot den zamengeftelden régel van Drien behooren, kunnen, zopa's in § 762, door twee of meer régels van Drien of omgekeerde régels van Drien worden opgelost: deefe leerwijfe zou kunnen volftaan , en kan door den Leerling met nut geöeftend worden, (a)
* De zamengeflelde régel van Drien is dus een régel; waar door alle régels van Drien, die men anders tot de oplosfing zou nodig hebben, in eens af worden opgelost.
fV) Wij raaden de» Leerling, om elke Stelling van eea1 zamengeftelden régel van Drien, eerst door regte en ver. keerde régels van Drien op te losfen, hier door zal hij de betrekkingen der grootheden, in de Vraag voorkomende, béter leeren ouderfcheiden.
Z z 2 II. Hos
7o3 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
II. Hoe eer? zamengeftelden régel van Drien in het gemeen wordt opgefteld. i aj
§ 764. Men onderfcheidt wéderom eerst
„ het geen gevraagd wordt van de bekcudens?'
2°„ Dit gevonden hebbende, zoekt men onder i, de békendens een getal, dat met het zelve ge„ /ijkmaatig is, en dat getalfeit men op*
30,, Voor dat getal, ter linkehand, fchrijft ,j men de getallen, die met het zelve in de regte „ of omgekeerde rédens ftaan. en van welke de „ waarde van het eerst opgefchreeven getal af„ hangt."
40,, Eindelijk fchrijft men de overige getallen „ tn eene colom onder elkander. Deefe zijn zo veel „ in getal als de eerfte en met de getallen van „ de eerfte colom van dezelfde foort."
De vraagen van § 762. zullen, naar deefen régel opgéfteld zijnde, aldus ftaan.
de eerfte 100 Capit 7 winst J760 Capit 12 maand, j °' } 11 irjaand.
de tweede * 100 Cap. l12maandi%o Cap.
2) winst J [36 winst
* Met
(a) De Heer Blasstkie geeft eenen anderen rége! op, welke wij niet ontveirfen kunnen, een meerder gemak in de tékenjng aan te brengen, dewijl in veele gevallen vin den omgekeerden régel tan Vijven ds getallen, •die met het gevraagde in een omgekeerde réden (taan, niet behoeven omgezet te worden; maar naar «nfe Leerwijfe, moet een Lfeiling oplettend zijn, om voo:af na te gaan, welke grootheden ten opzigte van bet gevraagde getal, rest of verkeerd ftaan , iets dar ycor den Leer. ling van het grootfte belang is wel te weetcn. Ook kun. nen 'er! gevallen zijn , waar in den régel van den fleer Blassibke zo gemaklijk niet toegepast kan worden gelijk het derde Vootbeeld Van de opheldering hier onde
M.S.H. HXXKl.L.Zameng.Régelvan Drienjog
* Hec wel opftellen van den régel is ook hier van zoo veel belang, dat de leerling zich hier ia niec ce veel kan oeffenen.
III. Hoe een zamengeflelde régel van Drien opgefteld zijnde, moet opgelost worden,
§ 765.-Kerst zullen wij den régel in het ge. meen voordraagen cn dan van elk geval een bijzonder voorbeeld, uitgewerkt, opgeeven,
1 0 , Het eer/Ie werk dat mij te doen ftaat is „ dat ik eerst 'elk getal, dat in de voorfte colom „ ftaat , tégen het middelfte getal vergelijk om „ daar uit te beöordeelen of deefe term met het
middelfte getal in een regte of in een omge„ keerde réden ftaat: die welke in een omgekeer „ de réden ftaan tekent men met een fterretje * „ (zie de op/lelling van het tweede voorbeeld „ maar die in een regte réden ftaan, laat men
ongetekend.
% 0 }, JL' ''er omgekeerde rédens zijn, haalt men ,, de getallen die in de omgekeerde réden met „ het middelste getal zijn door, en fchrijft het „ getal dat voor ftaat agter en het getal dat ag„ ter ftaat vooraan, — zo als men in het tweede „ voorbeeld zien kan. • m Capitaal? a maandff^^ 3^ wxnst j [36 vvmst
650 10.0 „ als alle de termen met het middelfte in een reg„ te réden ftaan. behoeft men in de getallen niet „ te ver plaatfen".
30 „ Indien ''er onder de termen gebrokens „ gevonden worden, moet men die termen met de 5, noemers der bijzijnde breuken verménigvuldiZ z 3 gen,
710 GRONDBEG. b=r CIJFFERKÜNST.
gen, om heels getallen te verkrijgen, met de n noemers deefer breuken éven eens te werk gaans> de , als in den regten regel van Drien: te „ weeten de noemers der breuken in de voorfte ?? colom ftaande, in de agterfte colom en de noe,> nters der breuken van de agterfte colom en van „ het middelfte getal in de voorfte colom te plaat* „fen.
4 ° ,. Men mag ook de termen tégen elkander y, verkleinen, daar in de zelfde omzichtigheid ge
bruikende, als in den regten régel van drien; ., te weeten eenig getal van de voorfte colom kan „ tégen het middelfte getal of tégen eenig getal 5, in de agterfte colom verkleind worden \
50 „ Eindelijk verménigvuldigt men het mid' „ delfte getal getal met alle de getallen die in „ de agterfte colom ftaan, en divideert hei pro'
duel door het produel der getallen, die in de „ voorfte colom /taan, dan is het begeerde gevon„ den".
De twee voorbeelden van § 762 zullen naar dien régel aldus bewerkt worden.
he; eerfte.
5 m Cap. ? . Ijn Cap. %%. ro
4 u maandj J' *mst \ # maand. 7 *
7
(7
49
— dg
H 931
aeel in 5 maal 4}
46^ Gulden. Zoo als §76^ gevonden is.
hec
il.EJLH.XXXLL.Zameng.Rêgelvan'Drien.jii
het tweede
té. ® winst S . mddim-\ 36 winst
65e Z(2 M '2
8 4
■ (4
32
(36
1152
in 65)-
komt 17% maand. Zoo als ook aldaar gevonden is. Ik geloof dat elk onder het voorftellen van den régel en de befchouwing der bijgevoegde rékeningen , klaar genoeg zal gezien hebben, waarom men den régel dus opftelt en dus bewerkt, dewijl de gantfche fchikking der berékening daar op neer komt, dat men in eens alle de régels van drien bewerkt, die men anders afzonderlijk zou hebben moeten opftellen en uitrékenen.
§ 766. Om de zaak volkomen te voldingen, zul-, len wij voor elk geval nog een voorbeeld opgeeven cn daadelijk uitwerken.
Voorbeeld op het eerfte geval. Als 24 Werklieden in 20 weeken, daags 7 uuren werkende 1435 guld. verdienen, hoe veel verdienen dan ^3 Werklieden in 36 weeken, dagelijks 12 uuren werkende? onderjlellende dat het werk, dat elk in gelijke tijden afdoet gelijk is.
Zz 4 Stelling
n% GRONDBEG. dkr CIJFFERKUNST.
Stelling en Bewerking, a. U Werklied.. Werkl l.S. *t weeKen l fTTS Werkl {# weeken. o i. t uuren J ^ lI? uureQtIv
4*
~7C9
369
C33
i2i;7
- 6c88'- Gulden, verdienen 33 Werkl. in 36 wee ken, eiken dag 12 uuren werkende.
Ferklaarifig. Hec werkloon is a) in de rente reden van het getal Werklieden, b) in de regte réden van den tijd en e) in de regte réden van den trjd, die men eiken dag werkt, (a)
V°0.R/EE.Ln °P h« tweede geval. Ah 25
WerkUeden *ng weeksn, & f f
werkende, 6088:' gulden verdienen, i„ w«t >d
zullen dan 24 Werklieden n ,„„-L j 3 , + " <-iwca~n , 7 uwen daags wet-
hende^i^s gulden verdienen? ö
Stelling
JW behalven de ultflaaöde Tafel tégen over nas 608
«IR nndea, of de betrekking van tik getal in de voorfte
^portie naatj Op deeie wijs : Ik vraag: Indien de weeten en de uuren daags gelijk blijven, in wat terifefaS ftaan dan de Werkhe.dea mtt het werkloon? ££
zai
III.B II.H.XXXIL. Zamtng. Régelvan Drien,^
Stelling en Bewerking: f . 14 ♦ ü Werkl. ■> f^'WerkL^.^ 1 > (omgek.)
i.f » fi. uuren J jf* week. \ i uuren. / ■■ l U 4 (omgek.) fiiïufafJtiVfretïl 3 2 i/^^Weiki/i)
4'W ïM (feSÖ
4Èt 5
4'/ ' —(2
ï i IO
(2
Komt 2 o weekea, waarin 24Werkl,, 7 uuren daags wer» kende, 143^? guld. kunnen verdienen»
Verklaaring De 36 weeken zijn d) met de 33 Werklieden alles gelijk blijvende in de omgekeerde réden, b~) ook met de tijd die zij daag* iijks werken in de omgekeerde réden , (c maar zijn met het werkloon in een regte réden.
Voorbeeld. Op.het derde geval. Als 840
Gulden Capitaal in 8 Jaar tégen 3 per Cento een zékere winst opbrengen, tégen hoe veel per Cento moeten dan 2400 Gulden in 2', ¥aar uitgezet worden, om het zelfde te winnen?
* Z z 5 Stelling
zal ik niet lang behoeven te overdenken om te zien, dat Werklieden en IVerklann in een regte réden zijn. Als men op gelijke wijfe de betrekking van elk der overige getallen tot het middelfte onderzoekt, door altijd het overige gelijk te ftellen, zal men insgelijks de overéénkomften vinden. - De kennis van den waaren aart der zaaken, moet altijd dea grondlïag zijn van een welgegronde berékening.
714 CRONDBEG. der CIJFFERKUNST.
Stelling en Berékening. %é. $444 * %4o Cap,-» ,$444 Capt. $46. U
V3fJr.Gt.-j (omgek.) 5 =! * f JnfcJ 3 *-?}Jaar..? 2
i " 3 (omgek.)
9
C*
i} 16 {komt ?j per Cent, tégen welken Interest 2400 Gulden Jaar moet uitgezet werden, om het zelfde re winnen. Verklaaring, De tijden gelijk zijnde , moeten om het zeilde vt wirsnei, de Capitaalen in de omgekeerde réden van de interesfen ten ico zijn. — En de Capitaalen gelijk zijnde, zijn ook de tijden in de omgekeerde réden van de winften ten honderd.
* Als alle de Stellingen omgekeerd zijn, behoeft men de getallen niec ce verplaatfen, men kan alsdan alles als eenen omgekeerden régel van Drien bewerken.
5 76" Voorbeelden tot Oeffening in den zamengeftelden régel van Drien.
A. Zulke , die door regte régels van Drien kunnen opgeltst werden,
1°) Als 8 Knegts in den tijd van 12 maanden winnen 2593 Gulden, hoe veel winnen dan 35 Knegts in den tijd van io\ maand? Andw. 9922; Guldens. ï'J Hoe veel zal ééne Knegi in ééne week verdienen, als 9 Knegts in io\ week 73S.? Gul' den verdienen"1. Andw, 7:;. Gulden. "
3°; Hqü
III.B .11. H.XXXI.LZamcng. Régel vanDrien.7 15
30) Hoeveel zal men met 1625 Gulden in \7\ maand tégen % ten honderd in het Jaar vinnen? Andw. 88 GL 17 fluiv. 5! penn.
40) Als men met 450 Gulden in 12 Jaar tégen 6 ten honderd in V jaar 324 Gulden winnen kan, hoe veel zal men dan winnen met 750 Gulden in 7* jaar tégen 31 per Cent? Andw. 2? 5? Gulden,
K°) Als 5 Werklieden, 6 dagen in de week werkende , in den tijd van 41 week 1471 Gulden verdienen, hoe veel zullen dan (de verdien • fte n der Werklieden gelijk ft ellende} 5 3 Werklieden in 46} week verdienen, zo zij elke week 65 dagwerken?Andw. 17502Gl sors3 ft.
6°} Als 12 Knegts in 7 weeken, 6 dagen in de week en ic uuren daags werkende, 650 verdienen, hoe veel verdienen dan 20 Knegts in 12' week, ${ dag in de week en 9 uuren daags werkende , gefield das elk van de '2(J 'Knegt in 12 uuren i~ maaien het zelfde werk doet, dat elk van de 12 Knegts in die zelfde 1 a uuren kan af maaken? Andw. 2127^- Gulden.
B. Zulke Vraagen, die gedeeltelijk doot regte en gedeeltelijk door verkeerde régels van Drien kunnen opgelost worden.
1°\ Als een Last Tarw kost 128 Goud-gl, betaalt men 4' ftuiver voor een Brood van 3 pond; als nu de Tarw 16 Gulden op het ■ Last af ftaat, hoe veel pond Brood zal men dan koopen voor 9 ftuivers en 3 penn.? Andw. 7 fond.
8°) Een
\i
v
7i6 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST;
8°3 Een Loodgieter heeft ic6~ pond Lood, waar méde hij het vierkant plat van een Huis beleggen kan, zo nu het plat 17 voet lang is, koe breed zal hei dan moeten zijn, indien hij om een plat, dat 13; voet Ittng , 7; voet breed is, te beleggen, 43; pond van dat zelfde Lood nodig heeft? AÏidw. 13^ voet. 9°) Len Muur , v- /leen dik , 32 voet lang, oó voet hoog, beloopt voorwaarde aan Bouwpof en Arbeids loon 360 Gulden, hoe lang zal dan een 3 ft eens muur zijn van 45^ voet hoog, die aan Bouwflof en Arbeids loon 1110 beloopt? Andw. 39 ?' voet lang.
IO°3 Als 20 Arbeiders -, in 15 weeken 6 uuren daags werkende, •oco Gulden winnen, hoe veel uuren moeten dan 3 6 Arbeiders 4 weeken lang daags werken, om 64c Gulden te verdienen? Aodw. 8 uuren.
H°) Indien 360 Soldaaten in 11 weeken 6 dag werkende en 12 uuren cp den dag een Gr agt maaken, die 7200 voet lang, 28 voetbreed en 10 voet diep is, hoe lang zal een Gr agt moeten zijn , waar aan 560 Soldaaten, daags I4Ï uur werkende. 24 weeken lang werk zul. len hebben » gefteld dat zij £j dag in de week werken, en dat de Gr agt 30 voet breed en lil v°et diep moet weefen% Andw. 27449^
12°) Gefteld\ dat men met 8coo Gulden 'in 16 Maanden tégen 3 per Cent 3:0 winnen kan, met wat Capitaal zal men dan fat 33' Maand 513 Gulden tégen 3J />er Cent kunnen win. nen? Andw. .,900,; Gulden.
C. Zulke
III.B.1LHXXX1, L.Zatneng.Régel vanDrienji 7
C. Zulke Vraagen, die door Wee of meer verkeerde régels van Drien kunnen ontbonden worden,
13 °) Hoe hoog moet een Regenbak gemetzeld worden, die 12 voet lang, 10 \voet breed is, om zo veel tonnen waters in te houden als een anderen Bak 11 voet lang, 8 voet breed en 73 voeten hoog? Andw. 5? voet.
H°> Hoe'veel Capitaal moet voor 16 Maanden tégen 4; per Cent op interest gezet worden, om zo Veel te winnen als 600 Gulden in 131 Maand'tégen g| per Cent? Andw 46
15°) Hoe lang moet 1200 Gulden tégen 3! per Cent op f riterest gezet worden, om zo veel te win hen , als 1600 Gulden in 5 Jaar en 3 Maanden tégen 4;, per Cent 's jaars vannen kunnen? Andw. 7 Jaar 7 Maanden.
16 °) «wrw moeten 35 Werklie¬
den 14 mfe» /rfffg werken, o?» 20 *w£ tf/ ^« * 8 Werklieden in 27 yowfrtfK /;a;wf», dagelijks \o\uur werkende? Andw. ïof uur,
j70>) //o Werklieden in 10 wieken, 6' dag \ weeks en ia', uur daagi werkende? Andw. 650 Werklieden. C< Gy*r
7i8 GRONBEG. der CIJFFERKüNSl'.
C. Over den aanééngefchakelden régel van Drien, anders genoemd den Kcttiug-régel.
§ 768. 'Er zijn in de gewoone Rékenkunsc een ménigre Vraagftukkeu, die men door twee , drie of wel meer régels van Drien kan oplosfen, welke alle zo aan elkander verbonden zijn, dat het geen men in de eerfte régel van Drien tot uitkomst verkrijgt, de laatfte bekc-nde term van de volgende wordt, enz. — Zulk een Vraagftuk is bij voorbeeld :
Als 24 pond te Amftejdam zo zwaar zijn als 25 pond te Antwerpen, en roo pond te Antwerpen zo zwaar zijn ah 107 pond te Sivilieri, hoe veel pond te Sivilieh zullen dan met u6co pond te Am. ftel dam een gelijke zwaarte hebben?
Deefe V'raag lost men door den régel van Drien aldus op:
Eerfle Stelling. 14 pond Amft.—Z5 pond Antw.—%$66 pond teAm/l.
komt 3750pond te Antwerpen , die éven zwaar wegen al* 7600 te Antwerpen. Tweede Stelling.. fiépondAntw.—107 pond Stvil. — 3750 pond Antw. 2 — ' 75
535 749
8025
komt 4014' pond te Srnlien gelijk in zwaarte aan 3750 te Antwerpen , derhalven ook gelijk in zwaarte met 3600 pond te Amjieldamt dat gevonden moet worden.
De
III. B. II.II. XXXI. L. Over den Ketting-règel 719
De Vraagftukken, die op dezelve wijfe kunnen opgelost worden, behooren tor. de Ketting régel.
I. Welke de hoedanigheden zijn, die in een Vraagftuk moeten gevonden worden —• eer men bejluiten kan, dat zulk eene Vraag door den Ketting régel kan worden opgelost.
§ 769. In een Vraag, die door den Ketting-régel kan worden opgelost, moeten gelijkheden gevonden worden. Veriiaat door gelijkheid in het vol ■ gende : „ 24 pond te Amfteldam zijn zo zwaar „ als 25 Bond te Antwerpen — en dergelijke."
Deefe gelijkheden zijn in de eene Vraag meer en in de andere minder; want daaromtrent is geen bepaaling nodig.
De gelijkheden moeten zo gegeeven zijn, dat het laatfte lid van da eerite gelijkheid gelijknaarnig is met het eerite lid van de tweede, het laatfte lid van de tweede gelijknaamig met het eerite lid van de derde. Zo is in de opgegeeven Vraag:
24 pond te Amfl. a 25 pond te Antw.
100 pond te Antw. =s ic7 pond te Sivilien. Eindelijk wordt 'er in zulk een Vraag naar een andere gelijkheid gevraagd; gelijk hoe veel ponden is Sivilien gelijk itaan met 5600 pond te Amfteldam. Deefe gevraagde gelijkheid moet bekend worden uit de gegeevene gelijkheden : en 'er moeten zo veele tusfchen gelijkheden gegeeven zijn, als 'er nodig zijn. om met behulp*van dezelven de gevraagde gelijkheid te bepaalen. Als in het opgegeevene Voorbeeld alleen gezegd was 24 pond te Amfteldam weegen zo zwaar als 25 pond te Antwerpen,hoe zwaar weegen dan ^dozAmfteldamjche
ponden
72b CR03DBEG. der CIJFFERKUXST.
ponden te Sivilien, zou men door deefe gegeevene gelijkheid wel kunnen berékenen, hoe zwaar 3600 Amfteldamfche ponden te Antwerpen vvcegen; maar om aan de Vraag te voldoen, moet er een gelijkheid in getallen tusfchen de Antwerpfche en Sivtliaanfche ponden gegeeven zijn, zonder welke de Vraag onmogelijk kan beiinchvoord worden.
II. Hoe de gelijkhêdm van een Ketting-régel moeten opgefteld worden.
$ 770. Om de gelijkheden van eèn Ketting régel op te ftellen, moet
i0,, Onderzogt worden, waar naar gevraagd „ wordt , dit getal onbekend zijnde , ftelt men „ daar voor een (x) — anderen ftellen een puntje
of een R er r et je "
2 0 „ Daar na herleest men de Vraag, en vraagt „ aan zich zelven: wat moet met dat getal gelijk
„ (laan? dat zal men uit de Praag vinden,
„ en het geen 'er méde gelijk ftaat, fchrijft men 5, agter de (x) ter reg'ehand,"
3°;, Nu is de onbekende gelijkheid opgefchree. „ven, en alle-de andere bekende gelijkheden, „ moeten onaer die eene gelijkheid op deefe wijfe ., gefchreeven worden ; dat de eerfte term van „ elke volgende gelijkheid gelijknaarnig is met de „ tweede term van de voorgaande, het welk men „ altijd uit de eenvoudige leefing der Vraag zon-
der veel nadenkens vinden kan?'
40,. Als men alle de gelijkheden onder elkander „ gefchreeven heeft, heeft men twee Colommen „ van getallen , in de voorfte van welke het on-
bekende getal ftaat, en in welke de laatfte term „ in de laatfte Colom gelijknaarnig moet zijn met
„ het
ƒƒƒ. B. ÏZ H. XXXI. L. Over den Ketting.régel, 721
& het onbekende, dat is met de eerfte term van de
„ voorfte Colom " . • ■
. 50,, Indien het gebeurt, dat de laatfte term
„ yan de laatfte Colom met de eerfte term van de Voorfte niet gelijknaamig is, heeft men of een
„ misflag inden régel begaan, of alk gelijkheden niet op getékend, of ''er is in de vraag niet alles gegeeven, dat tot bepaaling van de onbekende
n gelijkheid noodig is." (a)
Het
Ca) De Ketting régel heeft dat bijzonder eigen, dat men die gelijkheid, die het eerst voorkomt, het eerst kan opfchrijven, en dan voords ten opzichte van de plaatfing der overige gelijkheden , den voorgefchreeyenen régel naauwkeurig in acht moet neemen. Zo veele léden als dan in alle de gelijkheden te zamen genomen zijn; zo veele ondeifcheidene wijfen van opftelling kunnen 'er plaat? hebben. Het opgegeevene Voorbeeld kan dus op de volgende wijfen opgefteld worden.
A.
pond te Amft. 24 I 25 poud te Antw. pond te Amtw. ïoo I 107 pond te Sivilien. pond te Sivilien x • 3600 pond te Amft.
B.
pond te Antw.' 100 I 107 pond te Sivilien. pond te Sivilien x I 3600 pond te Amft. pond te Amft. 24 • 25 pond te Antw.
c.
pond te Amft. 3Ö00 I x pond te Sivilien.
pond te Sivilien iq7 I 100 pond te Antw.
pond te Amft. 23 ' 24 pond te Amft.
D.
pond te Sivilien 107 I 100 pond te Antw1; pond te Antw. 25 I 24 pond te Amft. V pond te Amft. 3600' x pond te Sivilien;
E.
pond te Antw. 25 I 24 pond te Amft. pond te Amft. 3600 I x pond te Sivilien ; pond te Sivilien 107 |. ima pond te Antwerpen; Aast
72a GRONDBEG. Mii ClJFfERKUNST
Het voorbeeld van $ 76S zal naar deefen régel
aldus opgefteld worden:
pond te Sivilien x 3600 pond te Amfteld. pond te Amft. 24 25 pond te Antw. pond te Antw. 100 > 107 pond te Sivilien. De Leefer kan hier uic zien, hoe eenvoudig deefen régel is: het is daarom in de daad te verwonderen, dat de Ketting-Régel zo weinig gebruikt wordt, III. Hoe een Ketting-régel wordt opgelost.
§ 771. Om nu een Ketting-régel op te losfen, volgt men deefen
Algemeenen RéoEL: i°„ Eerst moet men, „ indien 'er gebrokene of gemengde getallen zijn, „ die getallen met de noemers van de bijftaande j, breuken vermenigvuldigen , en de noemer van „ die breuk in de andere Colom zetten, om daar „ als Multiplicant te dienen. *
20,. Men moet, zo lang het mogelijk is, eenig ,, getal van de eene Colom tégen een getal yanK de ,, andere Colom verkleinen."
3°„ Eindelijk moet men de termen of getallen „ van de voorfte met elkander verménigvuldigen, „ als ook die van de agterfte, dan deelt men het „ produel der agterfte Colom door dat der voorfte, „ het geen 'er uitkomt, is her gevraagde getal ft
Het Vraagftuk, daar zo éven opgefteld , wordt dan aldus uitgewerkt,
pond te Sivil. x \ ;5zi pond te Amft. téf
pond te Amft $41 :< pond te Antw. 1,75 4 pond te Antw. 1-- J J07 pond te Sivilien.
2 2 / 8025 f4012. pond te Sivi*
■ I \lien, die gelijk ftaan fmet 3600 pond te \Amfteldam.
Betooo
UlB.ILH.XXXlL.0ver den Ketting-régel. 72$
Betoog van deefen Régel.) Als men den voorgefchreevenen Régel met de oplosfing § 768 ver* gelijke, befpeurt men ten eerften , dat door de fchikking der vergelijkingen in Colommen, de voorfte termen der régels van Drien, alle in de voorfte Colom, en de middelfte termen van die zelfde régels van Drien in de agterfte Colom komen te ftaan, dewijl men nu in een régel van Drien met de middelfte termen verménigvuldigt en door de voorfte termen deelt, moet men noodzaakïijk het produfl der termen van de agterfte Colom door het produ£t van de voorfte deelen.
Nog de volgende Vraag zullen wij voor den Leefer uitwerken.
Vr a a g : Een Koopman ontvangt uit Engeland zékere ftukken Linnen, die hem aldaar 42 groot Sterlings de el kostten: Zo nu 12 ellen ie Amfteldam i o Vlaamfche ellen ; 7 Vlaamfche ellen 5 Engelfche ellen waerdig zijn, en de Cours van de Wisfel 36 Schellingen 4 groot Vlaamsch is, vraagt men, hoe veel ftuivers een elle van dat Linnen te AmfteU dam kost?
ftuivers x j 1 El te Amfteldam. ï.l.Ell. Amft. tl U Vlaamsch.Ell.tf.i 1. Vlaamsch. El. i 5 Engelfche EU,
Eng. El ï 41 groot Sterl. $ groot Sterl. tl 1 Schell. Sterl.
4.Schell. Sterl. 1$ Schell. Vlaamsch,
Schell. Vlaamsch 1 $ ftuiv.
3 109
24 545 5ƒ «tg ftuivers de
■ *? waarde van
65 j 1 Elle Hol. Ü 1 O 7 ** landsch.
Aaas JYZSBjt
724 GRONDBEG «* CTJFFERKUNST.
Voorbeelden tot Oefening.
1°) He: veel Ag: en-frintigen zal iemand tnt> fangen voor 713 Ducaaten? Andw. 2673 j.
2 5) Hoe veel Ducatons zal men hebben voor 5486 FranfcJte Kroonen, in de yoorb'nderftelling dat iedere FranfcheKroon 28 ftuivers waar digis? Andw. 1549 Dueaaten.
3°) Hoe veel Zesthalven zal iemand ontfanget, voor 360 Goude Rijders tct 14 Guldens hes ftuk? Andw. 18327^. 4CJ Iemand heeft een ftuk gekogt, dat 50 Ellen lang is, voor 36 Gulden; vraage, voor hoe veel hij de El wéderom zal moeten uitver. koopen, om 10 ten ico te winnen? Andw. 15 .: Gulden.
5 °) Een Koopman heeft een ftuk Laken, het welk 230 Gulden kost en lang bevonden wordt 46 ellen , vraage: hoe veel hij de el zal moeten verkecpen, om 20 ten ico te winnen?Andw. 6 Gulden.
6°j Indien 57 pond tot Bamberg éven zo zwaar zijn als 56 pond ie Amfteldam, op hoe veel Zullen dan 171 Bambergfche ponden te Amfteldam komen te ftaan, zo 21 pond Axnaeh damsch gewigt 43 Gulden kosten ? Andw. 344 Gulden.
7 °) Wat kost een el Laken te Londen, als een Anuleldamfche elle kost 4 gulden 19 ftuivers, en 102 ellen rc.\mfteldam zo lang zijn als99 elkn te Londen; als mede 1 L. Sterlirgs in Amfteldam?ch 36 Joh. en 8 groot waardig is? Andw.9 \: fchell. fterl.
V) Eén ftuk Laken, dat i%\ el lang is, kost mij ingskegt 74 guldens, tct hoe veel zal ik
wéderci.i
III.B.IIH. XXXIL Over den Ketting Régel. 72$
wéderom de el moeten verkoopen, om 18 ten 100 te winnen ? Andw. 4 guld. j 4 ï 9°) Indien ico pö«^ Geneven 200 veel waar. dig zijn als 108 pond /eLions, 100 pond te Lions £o»van de tweede foort 4 ellen, zo dikwijls hij van de tweede foort 3 ellen neemt, neemt hij van de derde joort 5 ellen, en van de derde foort a ellen neemende, neemt hij van de vierde foort 5 ellen: vraage hoe veel ellen heeft hij van elke foort gekoft? Andw. 36 ellen van de eerfte, 48 van de tweede, 80 van de derde en 100 van de vierde foort.
4°) Een fom van 9368 gulden moet onder vier perfoonen dus verdeeld worden, dat $ van het deel van A, | van het deel van B, \\z maal het deel van C en \ maal het deel van D alle gelijk zijn. Andw A 4284; B. W; C, I344;D, iS36guld.
5 ) yeiteld, dat er drie Watermolens A , B en Czijn, de twee eerften A en B kunnen een Polder in i6tx dag leegmaalen, A en C kunnen het *ni7\ dag en B en C kunnen het in i 8 'J dag doen: vraage in hoe veel tijd zullen zij elk afzonderlijk dien Polder kunnen leegmaalen? Andw. A in °o, 13 in 36 £n C in 40 dagen.
6°) Twee hebben te zamen in Compagnie gedaan, •na het epmaaken van de rekening bevinden zij, dat A aan Capitaal en Winst 721 en B 927 gulden ontvangt, zo nu A 200 gulden minder dan B heeft ingelegd, vraagt men, hoe veel elk ingelegd en gewonnen heeft? Andw. A ingelegd 700 en 21 gewonnen B en 900 gulden ingelegd en 27 gewonnen.
7°) Brie maaken een Compagniefchap, waar in B 90 meer legt dan A, en A en C te zamen 1190 gulden, na verloop van eenige tijd is 'er tienmaal zo veel gewonnen als A ingelegd heeft; als nu C voor het aandeel van zijn winst, 834J, meer geniet dan B ,• vraagt men hoe veel elk ingelegd en gewonnen heeft? Andw.-A 360 gulden ingelegd en
79© I? §e'
Vitgeleefene Voorftelkn. ?2Q
79oi? gewonnen. Het overige wordt hier uit gé.
wtaklijk gevonden.
Z°) Een Koopman koopt eenige foorten Koopman'
fchap, die hij onder elkander vermengt; te weeten de helft tot %\ fchell.; een derde tégen 4. fchell ; een tiende tot 5 fch. en de rest tot 7; fch. het pond; zo nu het beloop van de menging, door elkander serékend, 4410 guld. bedraagt, vraagt men, hoe yeel ponden van elke foort in de menging genomen zijn? Andw. 1S00 pond van de eerfte Joort; 1200 pond van de tweede; 360 pond van de derde en s4o pond van de vierde foort.
9 ) Op een vreemde plaats worden gekoft Cent 36 pond van zékere IVaar tot 24 gulden 42 ftuivers; 8 Cent 27 pond tot 26 guld. 8 ftuiv en o~Cent 72 pond tot 25 gulden 4 ftuivers het Centenaar, bedraagende te zamen 764 gulden 16 ftuivers: vraage hoe veel daar het Centenaar is houdende? Andw. ic8 pond. 10°) 150 Werklieden hebben een Werk aange* nomen : het zelve kunnen zij in 60 weeken gereed hebben, indien zij si dag V weeks werken en 10 uuren op eiken dag; nu beginnen zij daar aan te werken 5 dagen in de week en 12 uuren op eiken dag; na verloop van 6 weeken neemen 2> Werklieden hun affcheid, en de overige 125 Werklieden werken 6 dagen in de week en 10;' uur daags; deefe 7 weeken lang gewerkt hebbende^ moet het geheele Werk in den tijd van 25 weeken volbragt zijn, tot dat einde werken zij & dagen V weeks en\7\ uur daags: vraage hoe veelWerk. lieden 'er nog aangenoomen moeten worden , om het Werk in den bepaalden tijd gereed te hebbent Andw. 22 Werklieden.
Aaa 5 BIJ.
73» B IJ L A A G E.
B JJ L A A G E.
Ik was eerst voorneemens geweest eenige Bijlaagen, betreffende zommige Kunst ftukken en verkorte manieren van rékenen bij dit Werk te voegen; doch het zelve onder het afdrukkeu zo wijd uitgeloopen zijn. de, zal ik mij flechts met deefe ééne vergenoegen, welke ik insgelijks zou agtergehouden hebben, indien ik zulks op pag. 6 in de Noot niet beloofd hadr.
Wij gebruiken het tientallig-ftelfel, om de getal, len in Cijffers uit te drukken. Wij worden tot het zelve noodzaaklijk gebragt, om dat wij tien Cijffers, i* 2» 3» 4» 5» 6, 7, 8, 9 en o gebruiken. — Maar als men min of meer Cijffers gebruikt, zal men andere ftelfels verkrijgen, in welke alle getallen Kunnen uitgedrukt worden.
1°. Als men alleen de Cijffers o en i gebruikt, Zijn de waarde der plaatfen van agter af
J> 2' 4> 8, 16, 3a, 64, f28, 256, enz.
2 . De Cijffers o, 1 en 2 gebruikende, zijn de waarde der plaatfen
o'v^v?.;/7,8l' 243> ?29> 2l87' enz-
3 . De Cijffers o, 1, 2 en 3 gebruikende, zijn de waarde der plaatfen.
^ 1,4, 16, 64, 256, 1024, 4096, enz.
4 . De Cijffers o, 1, 2, 3, 4 gebruikende, zijn de waarde der plaatfen
b*\£'i&. I25' 6251 3125, 15625, enz.
5 . De Cijffers o, 1, 2, 3, 4, 5W^gebrui. kende, zijn de waarde der plaatfen
1, 6, 36, 2!6, 1296, 7776, 46656, enz. Hier uit kan elk opmaaken, wat waarde de plaat.
fen
jB I] L A A G E. 731
fen der getallen in alle fteUèls der getallen zullen hebben, het zijn namelijk de magten van het grondtal van elk ftelfel. .
Grondtal noem ik het getal Cijffers, dat m een {telling gebruikt wotdt.
A Wij zullen nu eerst zien, hoe een getal naar ons tientallig ftelfel gefchreeven, in eenig ander ftelfel gefchreeven kan worden.
Om den 21 Januarij 1793 in het twee-, drie- en agt tallig ftelfel te fchrijven , dat is eerst als men
0 en 1, ten tweeden als men o , 1 en 2 en ten derden als men o, 1, 2, 3, 4, 5 » 6 en 7 tot Tal letters gebruikt.
(1) I2) 2); j2( (2) 2) 2) 2) |2)' f
1 A°. 1793 < 896 44 8 2241112 56 28 U 7 3 ") 1 2> (A (o| (c Ko| C°U° (° (° dl (l 1
Januarij ai \ 10 I 5 I \'\ I ,
2) (1 I (o| (i| Col' , komt dan ioï 01 Januarij A°. iiioooocooiTallett.o,!
II. A'. 1793 1597 *99 1^1**1 7|2| 3^ Ca 1 (° U 1 (° I O I C1 l Januarij 21 I 7 a (o 1(1
komt Januarij 2ioA°.2iioi02. Talletterso, I, *.
HL A°. 1793 1 sp41 ^3 j 3 Januarij 21 | ^
8; 01 Cal C4l , (5\ komt 2S Januarij A°. 3401. Talletterso, I, 2.
B Hoe een getal, in eenig talftelfel gefchreeven, tot het onfe wordt overgebragt, zullen wij nog doof een voorbeeld aantoonen.
Wat
732 B IJ L A A G E.
tainTa^Srdu ueeft h^C getal IO*34i> tot het vijftaJhg ftelfel behoorende, in het onfe?
I0434i 5
5=^5X1+0 29 = 5x5^4-
148 = 5x29+3
' (5
744 ='5x148+ 4
komt 3721 - s x 744 +1 voor de waarde van het geftelde getal.
Die begeerig is over die ftof meer te leefen, kan zijne nieuwsgierigheid voldoen in een Werkje over teRéken-Kunften, door den Heer De la Fa i li e, uitgegeeven, waar in dit Stuk uitvoerig behandeld k
EINDE.
VER*
VERBETERINGEN,
Niet tégenftaande alle genomene voorzorg, heb* ben wij , na het overzien der afgedrukte Bladen» de volgende misflagen ontdekt:
Pag, 8 rég 7 ftaat hedeeling-, lees verdeeltng*
Pag iól, in de Noot, de derde régel van onderen, ftaat, om dat het eerfte Jaar onfer Jaar, moet zijn, om dat het eerfte Jaar onfer Jaartelling.
Pag, 109, in de derde régei van boven, op het einde * ftaat, in 28 ftuiv. 7 maal, moet zijn»
in 28 fluiv. 4 maal' , ,i4
Voords zal de Leefer op twee plaatfen Van dit Werk tweemaal dezelfde % vinden , — het is aart onfe opmerkzaamheid ontlhapt, wij verzoeken den befcheiden Leefer dit gunftig te verfchoonen.