is toegevoegd aan uw favorieten.

De grondslagen der rekenkunde

Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

103

Stelling 2. De reeks 2an met positieve termen convergeert, wanneer

r

um. —,

„==== Ign

grooter is dan 1; divergeert, wanneer die limiet kleiner is dan 1. Bewijs. Is k de limiet, dan is volgens Hoofdst. V, § 3, (3):

k + $ > gr^n > k — è, n> m. Ign

Hieruit volgt achtereenvolgens:

lg — > (k — 3) Ign, n > m

— > n~S n> m

■ a„

a„< n v n> m.

Na den mtn term is elke term kleiner dan de overeenkomstige

term van de reeks Wordt dus 3 zóó gekozen, dat k — $ > 1

n

is (en dat is alleen, maar dan ook altijd, mogelijk, wanneer k zelf grooter dan 1 is), dan is elke term an kleiner dan de overeenkomstige van de reeks ~nT^s> die convergeert (§ 2, toepassing 1).

Verder is /

lg±<{k + 9)lgn

al > n-<k+V

Wordt dus <J zóó gekozen, dat k + <J < 1 is (en dat is alleen, maar dan ook altijd, mogelijk, wanneer k zelf < 1 is), dan zijn de termen van de reeks 2an, die na den mm term grooter dan die van de divergeerende reeks n~(*+,\ dus 2a„ zelf is divergeert.

Bestaat de limiet niet, dan luidt het kenmerk: /

lgan

Is Hm. -=—- > /, dan convergeert sa„

Ign

1

lga„

Hm. —— < 1, dan divergeert sa„.

Ign