Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

Nu vindt men, uit do bekende formule van Bonnet voor de geodetische kromming eener kromme op het opper-

1 1 i

vlak1), dat de geodetische krommingen - en — der para-

ru v

meterkrommen u - constant en v = constant, zijn:

1 1 ?C J_ _ 1_M

r ~~ ~~ AC ?n eD r AC

u v

Voert men dit in de vergelijking (43) in, dan veikrijgt men:

Cdu __ Adu _ 0

r v u v

Daaruit volgt, dat de krommen V— constant alleen dan strietielijncn zullen zijn voor krommen op het oppervlak,

wanneer — = 0, derhalve die krommen geodetische lijnen r

v

van het oppervlak zijn, of:

Zal eene kromme op een oppervlak strictielijn zijn vooi een regeloppervlak, gevormd door raaklijnen aan dat oppervlak, die deze kromme onder een constanten hoek snijden, dan moet die kromme eene geodetische lijn op het oppervlak zijn.

Omgekeerd:

Als eene geodetische lijn op een oppervlak strictielijn is van een regeloppervlak, gevormd door raaklijnen aan het oppervlak, dan moeten die raaklijnen de geodetische lijn onder een constanten hoek snijden.

') B i a n o h i, Vorlesungen über Ditt'erential Geometrie, pag. 14a.

Sluiten