Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

t

Het meetbaar continuum.

toch het continuum met schaal, op deze wijze geconstrueerd, in niets zich onderscheidt van een continuum met geheel vrij geconstrueerde schaal; omgekeerd leiden we hieruit af, dat voor een eenmaal op liet continuum geconstrueerde schaal voor elke denkbare voortschrijdingswet een punt bestaat.

We kunnen de benaderingsreeks van een bepaald aangewezen punt evenveel nooit af denken, dus moeten haar als gedeeltelijk onbekend beschouwen.

Uit het voorkomen van elke willekeurige benaderingswet is volgens Cantor (Jahresbericht der Deutschen Math. Vereinigung I, pag. 77; vgl. Schoenflies, Bericht über die Mengenlehre, ibid. VIII pag. 20) af te leiden, dat niet alle punten van het continuum zijn af te tellen, d. w. z. dat er buiten elke aftelbare hoeveelheid van zulke punten nog andere zijn; (terwijl we hebben gezien, dat het systeem der opgebouwde getallen, die eveneens zijn te benaderen door een eindige of oneindige duaalbreuk, in elk stadium der theorie aftelbaar is.)

Als we de duale schaal naar willekeur construeeren, is het niet zeker dat ze overal dicht,wordt, d. w. z. in elk segment van het continuum doordringt. Maar we spreken af, dat we elk segment, waarin de schaal niet doordringt, tot een enkel punt denken samengetrokken, m. a. w. we stellen twee punten alleen dan verschillend, als hun duale benaderingsbreuken na een eindig aantal cijfers gaan verschillen.

Sluiten