Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

aanname iets willekeurigs ziende, weer tot de logische grondvesting der meetkunde teruggekeerd, en hebben getracht Euclides te verbeteren, door, zooals we boven hebben uiteengezet, zich ten doel te stellen taalgebouwen ') te construeeren, die uit axioma's zich ontwikkelen, enkel door middel van het formeele syllogisme en de verdere logische principes. De intuïtieve wiskunde halen ze alleen binnen den kring hunner beschouwingen tot het voeren van niet-slrijdigheidsbcwijzen (aangeven van een systeem, waarvan een zeker stelsel logische axioma's en dus ook alle er uit afgeleide stellingen kunnen worden beschouwd, eigenschappen uit te drukken )en onathan-

') Hu.bert verklaar» zelfs uitdrukkelijk, bij woorden als ,,1'unkt," „Gerade", „zwischen" enz. aan geen wiskundige interpretatie te willen denken.

*) Het is duidelijk, dat door het aangeven van een wiskundig systeem, waarvan de axioma's eigenschappen zouden kunnen accompagneeren, bewezen is, dat nooit twee strijdige stellingen uit die axioma's kunnen worden afgeleid, want twee strijdige stel lingen kunnen niet van een wiskundig gebouw gelden. Overigens ligt in het aanvoeren der wiskundige systemen als bestaansbewijzen voor de logische, dat men nog voelde dat het wiskundig systeem zelf geen verder bestaansbewijs, dan zijn intuitieven opbouw noodig had. Hoe die overtuiging Hilbert later echter weer heeft verlaten, blijkt uit zijn noot „über den ZahlbegrifF" (lahresber. der Deutschen Math. Ver. VIII), waar hij de getalsystemen, die hij alsbestaans bewijzen voor zijn geometrieën had ingevoerd, op hun beurt zelf weer alleen axiomatisch gedefinieerd denkt, zoodat dan daarvan

Sluiten