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La dépendance ou l'indépendance d'un système d'équations algébriques

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considérant les p équations linéaires homogènes a q variables qu'on peut former des lignes de 1'asseinblant proposé J).

§ 2(i. Considérons en deuxième lieu le cas ou les coefficients des p—q relations linéaires existant entre les lignes de 1'assemblant considéré forment les arguinents consécutifs d'une fornie binaire dn degré p—1.

Si les variables de cette fornie ne peuvent s'annuler, le nombre des déterminants qui doivent s'annuler, pour que ce soit le cas avec tous les autres, se réduit a p—q. Les p — q -j- 1 déteriuinants que 1'on obtient en snpprimant alternativement p—1 lignes de p— q -)- 1 lignes consécutives sont liés par la menie relation lineaire. Si p—q de ces déterminants s'annulent, le dernier s'annule ésralenient, et de niêine tous les autres déterminants de 1'assemblant

O '

considéré.

Si 1'on admet que 1'une des variables de la fornie binaire puisse obtenir la valeur zéro, les conclusions que 1'on pent tirer dans le cas ou les variables ne peuvent s'annuler, deviennent inexactes. Dans ce cas, la première ou la dernière ligne de 1'asseniblant considéré doit se composer de zéros senls. Pour tirer la conclusion que tous les déterminants de 1'assemblant s'annulent,il faut que ce soit le cas avec p — q-(-1 déterminants clioisis de telle manière qu'atfcun d'entre eux ne contiemie la première ou la dernière ligne.

§ 27. Dans le cas ou les lignes de l'asseniblant considéré sont liées par p—q relations linéaires dont les coefficients forment les arguments consécutifs d'une fornie ternaire, on peut tirer des conclusions analogues a celles du paragraphe précédent.

II est clair que ce cas ne se présente que, si p a une valeur de la fornie ('ó).

Si les variables de la fornie ternaire ne peuvent s'annuler, 1'évanouissenient de p—q déterminants désignés de 1'assemblant suftit, pour que tous les autres s'annulent.

Si 1'on admet que 1'une des variables de la fornie ternaire peut obtenir la valeur zéro, 011 conclut facileinent que les lignes de l'asseniblant qui s'accordent avec les termes de la fornie ternaire 11e contenant pas la variable considérée, sont liées entre elles par une relation linéaire. Les déterminants qui contiennent toutes ces lignes s'annulent identiquenient.

Afin que dans ce cas tous les déterminants de rasseniblant s'annulent, il suffit que ce soit le cas avec p—q -f- 1 d'entre eux, ne

J) Voir: Théorie générale ile 1'élimination, § 4—7.