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L'assemhlant des systèmes de racines des équations données est supplementaire Ti 1'assenil>la 111 des coefficients.

Póur démontrer ce théorème, substituons dans les équations résultantes qui découlent de la fonction F les ff2systèmes de racines des équations données. Chacune de ces équations fournit U\ 9" équations linéaires homogènes entre les ffl . . .//„ -)- 1

coefficients de ces équations. En résolvant ces équations par rapport au\ coefficients on trouve que les déterminants de 1'assemblant des coefficients sont proportionnels aux déterminants supplémentaires de l'assemhlant des systèmes de racines des équations données.

Les deux asseinhlants contiennent un nombre égal v de lignes, tandis que le nombre des colonnes du premier déterininant est —v2 -j— »3. .. . -)-• (—l)n_1 v,„ celui des colonnes du second lx //2. ••</„> ensemble v, d'après la relation (4).

Ces deux assemblants sont donc réellement supplémentaires.

§ 5. Si les t/l g2. . . (jH systèmes de racines qu'on obtient en résolvant les équations finales sor.t tous différents, les lignes de rassemblant des systèmes de racines sont liées par r, — Ls— • • • H(—l)"-1 vn relations linéaires. Coinme ce nombre est préciséinent égal a v—<)x r/„. . on en conclut que les colonnes decetasseniblant sont indépendantes.

C'est le cas, si 1'on ne prend pas des valeurs pour j inférieures

n

a Y.gK — 'i.

ï

Si le ]>lus grand degi'é des écpiations données est inférieur a ce nombre, les y, '/.>■■■ f)n systèmes de racines ne sont pas indépendants.

Prenant dans ce cas pour le degré de la fonction F le plus grand degré des équations données, les lignes de l'asseinblant des systèmes de racines sont liées par un nombre de relations linéaires indépendantes, oiï X-, > vx —v2 -f- v3 — . . . -)- (—l)"-1 v„, et par conséquent les colonnes sont liées par /• = /,1 —(v—gx ff.,. . .(/,) relations linéaires, d'après le § 56* de notre mémoire „Théorie générale de Féliniination." On en conclut <{Ue le nombre des systèmes de racines superflus est égal a k.

Remarque. Le théorème des assemblants supplémentaires est encore applicable dans le cas ou 1'on prend pour j une valeur

n

inférieure u S ffK — n, si 1'on supprime de 1'assemblant des systèmes ï

de racines un nombre de k colonnes, qu'on peut regarder comme dépendantes des autres colonnes.

§ 6. Le théorème des assemblants supplémentaires donne le

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