Les systèmes de racines d'un système de n équations homogènes à n+1 variables

Pour lc déinontrer, nous renvoyons aux démonstrations des $ 2—!) de notre méinoire „L'équation finale."

Si tous les déterminants de rassemblant des coefficients s'anmilaient, il existerait au moins un système de racines a' satisfaisant a toutes les équations 0, outre les i\,— v:i -f- v*. . . -1)" v„ systèmes de racines indépendants qui satisfont déja a ces équations.

Cela étant impossible, tous les déterminants de rassemblant des coefficients ne peuvent s'évanouir.

Le cas ou quelques déterminants de l'assemblant des coefficients s'évanouissent, se présente, (|uand le nombre des tenues d'une ou de plusieurs des fonctions (p est inférieur au nombre des termes

des équations résultantes, ou, si 1'on a <[ gl //.,. . .yn -)- 1

pour une ou plusieurs valeurs de p.

Les équations résultantes renfermant parmi leurs coefficients les déterminants qui s'annulent, se ramènent dans ce cas a des équations d'un degré inférieur au degré adopté pour la fonction F, et elles contiennent un nombre de tenues inférieur ayx </.,. . ,yit -)- 1.

2. Tous les déterminants de l'assemblant des systèmes de racines des équations données peuvent s'annuler.

Cela peut se présenter dans les deux cas suivants:

I. Pour toute valeur du degré de Ia fonction F, si les systèmes de racines des équations données ne sont pas tous différents;

II. Pour des valeurs du degré de la fonction F inférieures tl

a Y(Jk—n.

1

Dans le premier cas, les systèmes de racines doublés ou inultiples satisfont aussi bieu aux équations données quïi une équation

n

homogène du degré 2yK— /i.

1 '

Pour le déinontrer, rappelons-nous que les variations siinultanées des variables d'un système de n équations homogènes a n -\- l variables sont proportionnelles aux valeurs qu'elles ont déja ohtenues. Partant de la propriété connue de la fonction homogène f (x,y, z, u,. . .) du n"'"u' degré, exprimée par l'équation:

d/ i df i d/ i r, ï /oen

x \ jT + * i H~ u t + = z' *••••).. • (21))>

dx Oy Oc Ou on peut écrire le système d'équations (2) comine snit:

Verhand. Kon. Ak&d. v. Wetensch. (1" Sectie). I'i. VIII. B 2