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3. Si ///]>3,0<C3, et par conséquent /> m -|- >i 3, le nombre des systèuies de raeines superflus est

& -H = - ('" I') + C +1~') ('•>*);

4. Si n > 3, /m -|- n — 3, le nombre des systèuies de raeines superflus est

C71)-CT1)+("+rI) • <»»><

5. Si // > 3, / <[ /// -f- n — 3, le noiubre des systèuies de raeines superflus est

nn -f -n— I—1\ ni— l\

''2 ''s- C 3 ) ( 3 )

-Cï,)+("+»~1) <"»<»■

Kxeniples:

Pour 1=2, >n = 2 , n = 2 , on trouve — r3 — 1 ; / = 3 , = 3 , n = 2 , „ „ — v3 = 4 ; / = 4 , M == 3 , n = 3 , „ „ — f3 = 10; „ / = 7 , «< = 6 , n = 5 , „ „ v2 — ^*3 = 105 ; etc.

Remarque. La formule qui fournit le noiubre des systèuies de raeines superflus dans le dernier cas, peut aussi s'appliquer aux autres cas, si 1'on regarde coinme des zéros les coeffieients binoniiaux des puissances négatives qui se présentent dans le cas ou l^>m-\-n—1 !).

') Les résultats obtenus dans ce paragraphe 11 ■ different pas de ceux mentionnés par Jacoiu dans le journal de Crelle, tonie 15 (183ti), et (|u'il ('non re comme snit:

Si v -)- <C, numerus punctorum, per i|uae superficiem fi" ordinis ducerc lint, ijuae in curva iiitersectionis duarum superficierum v'' et ü1' ordinis ex arbitrio accipere licet, est

VÜ Qt + 2 — — 1 •

Si p > v, sed n<C_v-\-j fit idem numerus

1 .1 " + , (y + « — f — 1) (» + a — I* ~ 2) (» + * — ik — 3)

9S* "O

Si 1'on retranche le nombre des points, que 1'on peut cboisir a volonté, du nombre de n v <5, on obtient précisément le nombre des systèmes de raeines superflus mentionué dans ce paragraphe.

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