Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

Deze reeksontwikkeling gaat alleen door voor — ,T <c x < + n. Is f (x) periodiek met de periode 2 ,t , dan geldt de reeks voor alle waarden van x.

Men kan echter eene functie f(x) niet slechts voor het genoemde interval, maar voor alle waarden van x tusschen — li en -\- h, waarbij de grootheid /< willekeurig gekozen is, door eene dergelijke reeks als (1) voorstellen. Men heeft dan:

f (x) = 2 ho "f" cos jt ~K cos —f • • • + bn cos ^'' +

• • • • + c, sin -jj- + c2 sin ^ X -j-... -\-cn sin H~j~ +.. (2) waarin:

'

1 /•+/' m TT e I • • • V°/

Deze ontwikkeling, die bij eene willekeurige functie f (x) alleen geldt voor — hcx^ + li, zal klaarblijkelijk voor alle waarden van x doorgaan, wanneer de functie periodiek is met de periode 2 h. Dan bevat de vergelijking (2) dus de ontbinding eener periodieke functie in tal van goniometrische functiën.

In sommige gevallen komen bij de ontwikkeling alleen termen met een cosinus voor, in andere alleen termen met een sinus. Het eerste is het geval, wanneer de functie f (x) de eigenschap heeft f(—x)=f{x): dan toch worden de coëfficiënten c = 0. Het tweede geval heeft plaats, wanneer f(—x) = —f(x) is, daar dan de b's = 0 worden. Verandert bij omkeering van het teeken der veranderlijke de functie niet alleen van teeken maar ook in absolute waarde,

Sluiten